Average Error: 20.5 → 16.2
Time: 10.5s
Precision: binary64
\[[z, t]=\mathsf{sort}([z, t])\]
\[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_1 := 2 \cdot \sqrt{x}\\ t_2 := t_1 \cdot \cos y\\ \mathbf{if}\;z \cdot t \leq -8.362278312654834 \cdot 10^{+235}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b} + t_2\\ \mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 119678121304.56062:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_3 := z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\\ \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_1 \cdot \left(\cos y \cdot \cos t_3 - \sin t_3 \cdot \sin y\right)\right) \end{array}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{\frac{1}{b}}{-3}, t_2\right)\\ \end{array} \]
\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3}
↓
\begin{array}{l}
t_1 := 2 \cdot \sqrt{x}\\
t_2 := t_1 \cdot \cos y\\
\mathbf{if}\;z \cdot t \leq -8.362278312654834 \cdot 10^{+235}:\\
\;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b} + t_2\\

\mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 119678121304.56062:\\
\;\;\;\;\begin{array}{l}
t_3 := z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\\
\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, t_1 \cdot \left(\cos y \cdot \cos t_3 - \sin t_3 \cdot \sin y\right)\right)
\end{array}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{\frac{1}{b}}{-3}, t_2\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))
↓
(FPCore (x y z t a b)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* 2.0 (sqrt x))) (t_2 (* t_1 (cos y))))
   (if (<= (* z t) -8.362278312654834e+235)
     (+ (* -0.3333333333333333 (/ a b)) t_2)
     (if (<= (* z t) 119678121304.56062)
       (let* ((t_3 (* z (* t -0.3333333333333333))))
         (fma
          a
          (/ -0.3333333333333333 b)
          (* t_1 (- (* (cos y) (cos t_3)) (* (sin t_3) (sin y))))))
       (fma a (/ (/ 1.0 b) -3.0) t_2)))))
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	return ((2.0 * sqrt(x)) * cos(y - ((z * t) / 3.0))) - (a / (b * 3.0));
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b) {
	double t_1 = 2.0 * sqrt(x);
	double t_2 = t_1 * cos(y);
	double tmp;
	if ((z * t) <= -8.362278312654834e+235) {
		tmp = (-0.3333333333333333 * (a / b)) + t_2;
	} else if ((z * t) <= 119678121304.56062) {
		double t_3 = z * (t * -0.3333333333333333);
		tmp = fma(a, (-0.3333333333333333 / b), (t_1 * ((cos(y) * cos(t_3)) - (sin(t_3) * sin(y)))));
	} else {
		tmp = fma(a, ((1.0 / b) / -3.0), t_2);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Target

Original20.5
Target18.5
Herbie16.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -1.3793337487235141 \cdot 10^{+129}:\\ \;\;\;\;\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\frac{1}{y} - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{elif}\;z < 3.516290613555987 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;\left(\sqrt{x} \cdot 2\right) \cdot \cos \left(y - \frac{t}{3} \cdot z\right) - \frac{\frac{a}{3}}{b}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\cos \left(y - \frac{\frac{0.3333333333333333}{z}}{t}\right) \cdot \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) - \frac{\frac{a}{b}}{3}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if (*.f64 z t) < -8.3622783126548336e235

    1. Initial program 53.5

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified53.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around 0 33.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos y}\right) \]

    4. Applied div-inv_binary6433.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{b}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    5. Applied fma-udef_binary6433.5

      \[\leadsto \color{blue}{a \cdot \left(-0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{b}\right) + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y} \]

    6. Simplified33.5

      \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b}} + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y \]

    if -8.3622783126548336e235 < (*.f64 z t) < 119678121304.560623

    1. Initial program 7.8

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified7.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Applied fma-udef_binary647.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \color{blue}{\left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right) + y\right)}\right) \]

    4. Applied cos-sum_binary647.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \cos y - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)}\right) \]

    if 119678121304.560623 < (*.f64 z t)

    1. Initial program 41.2

      \[\left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(y - \frac{z \cdot t}{3}\right) - \frac{a}{b \cdot 3} \]

    2. Simplified41.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(z, t \cdot -0.3333333333333333, y\right)\right)\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around 0 33.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \color{blue}{\cos y}\right) \]

    4. Applied clear-num_binary6433.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \color{blue}{\frac{1}{\frac{b}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    5. Applied div-inv_binary6433.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \frac{1}{\color{blue}{b \cdot \frac{1}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]

    6. Applied associate-/r*_binary6433.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(a, \color{blue}{\frac{\frac{1}{b}}{\frac{1}{-0.3333333333333333}}}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right) \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification16.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \cdot t \leq -8.362278312654834 \cdot 10^{+235}:\\ \;\;\;\;-0.3333333333333333 \cdot \frac{a}{b} + \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\\ \mathbf{elif}\;z \cdot t \leq 119678121304.56062:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{-0.3333333333333333}{b}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \left(\cos y \cdot \cos \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - \sin \left(z \cdot \left(t \cdot -0.3333333333333333\right)\right) \cdot \sin y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(a, \frac{\frac{1}{b}}{-3}, \left(2 \cdot \sqrt{x}\right) \cdot \cos y\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021313 
(FPCore (x y z t a b)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, K"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -1.3793337487235141e+129) (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- (/ 1.0 y) (/ (/ 0.3333333333333333 z) t)))) (/ (/ a 3.0) b)) (if (< z 3.516290613555987e+106) (- (* (* (sqrt x) 2.0) (cos (- y (* (/ t 3.0) z)))) (/ (/ a 3.0) b)) (- (* (cos (- y (/ (/ 0.3333333333333333 z) t))) (* 2.0 (sqrt x))) (/ (/ a b) 3.0))))

  (- (* (* 2.0 (sqrt x)) (cos (- y (/ (* z t) 3.0)))) (/ a (* b 3.0))))