Average Error: 20.3 → 0.2
Time: 5.2s
Precision: binary64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -7.819593773920023 \cdot 10^{+45}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.0692910599291889\right)\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1838427.6240658495:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)\\ \end{array} \]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \leq -7.819593773920023 \cdot 10^{+45}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.0692910599291889\right)\right), x\right)\\

\mathbf{elif}\;z \leq 1838427.6240658495:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= z -7.819593773920023e+45)
   (fma y (log1p (expm1 0.0692910599291889)) x)
   (if (<= z 1838427.6240658495)
     (fma
      y
      (/
       (fma z (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968) 0.279195317918525)
       (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))
      x)
     (+
      (fma 0.0692910599291889 y x)
      (* (/ y z) (+ 0.07512208616047561 (/ -0.4046220386999212 z)))))))
double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z <= -7.819593773920023e+45) {
		tmp = fma(y, log1p(expm1(0.0692910599291889)), x);
	} else if (z <= 1838427.6240658495) {
		tmp = fma(y, (fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)), x);
	} else {
		tmp = fma(0.0692910599291889, y, x) + ((y / z) * (0.07512208616047561 + (-0.4046220386999212 / z)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original20.3
Target0.4
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if z < -7.81959377392002265e45

    1. Initial program 46.3

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified38.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied expm1-log1p-u_binary6438.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]

    4. Taylor expanded in z around inf 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.0692910599291889}\right)\right), x\right) \]

    5. Applied log1p-expm1-u_binary640.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.0692910599291889\right)\right)\right)\right)}, x\right) \]

    6. Simplified0.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(0.0692910599291889\right)}\right), x\right) \]

    if -7.81959377392002265e45 < z < 1838427.6240658495

    1. Initial program 0.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied *-un-lft-identity_binary640.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}, x\right) \]

    4. Applied *-un-lft-identity_binary640.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

    5. Applied times-frac_binary640.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\frac{1}{1} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}}, x\right) \]

    6. Simplified0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{1} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

    if 1838427.6240658495 < z

    1. Initial program 41.3

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified33.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(0.0692910599291889 \cdot y + x\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}} \]

    4. Simplified0.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -7.819593773920023 \cdot 10^{+45}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(0.0692910599291889\right)\right), x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1838427.6240658495:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, y, x\right) + \frac{y}{z} \cdot \left(0.07512208616047561 + \frac{-0.4046220386999212}{z}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021313 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))