Average Error: 60.0 → 0.4
Time: 9.4s
Precision: binary64
\[-0.026 < x \land x < 0.026\]
\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\\ 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + t_0 \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{0.75}\right) \cdot {t_0}^{1.5}\right) \end{array} \]
\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\\
0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + t_0 \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{0.75}\right) \cdot {t_0}^{1.5}\right)
\end{array}

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (sqrt 0.3333333333333333))))
   (+
    (* 0.022222222222222223 (pow x 3.0))
    (* t_0 (* (* x (pow (sqrt 0.3333333333333333) 0.75)) (pow t_0 1.5))))))
double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}
↓
double code(double x) {
	double t_0 = sqrt(sqrt(0.3333333333333333));
	return (0.022222222222222223 * pow(x, 3.0)) + (t_0 * ((x * pow(sqrt(0.3333333333333333), 0.75)) * pow(t_0, 1.5)));
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original60.0
Target0.1
Herbie0.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 60.0

    \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

  2. Taylor expanded in x around 0 0.4

    \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]

  3. Applied add-sqr-sqrt_binary640.4

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\right)} \cdot x \]

  4. Applied associate-*l*_binary640.8

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right)} \]

  5. Applied add-sqr-sqrt_binary640.8

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right) \]

  6. Applied associate-*l*_binary640.6

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right)\right)} \]

  7. Simplified0.5

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{1.5}\right)} \]

  8. Applied add-sqr-sqrt_binary640.5

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(x \cdot {\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}}^{1.5}\right) \]

  9. Applied unpow-prod-down_binary640.4

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right)}\right) \]

  10. Applied associate-*r*_binary640.4

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right) \cdot {\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right)} \]

  11. Simplified0.4

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{0.75}\right)} \cdot {\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right) \]

  12. Final simplification0.4

    \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\left(x \cdot {\left(\sqrt{0.3333333333333333}\right)}^{0.75}\right) \cdot {\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)}^{1.5}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021313 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))