Average Error: 1.0 → 0.1
Time: 4.7s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{t_0} \cdot \sqrt[3]{t_0 \cdot t_0}\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\\
2 \cdot \left(\sqrt[3]{t_0} \cdot \sqrt[3]{t_0 \cdot t_0}\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (cos
          (fma
           0.3333333333333333
           (acos (- (/ g h)))
           (* 0.6666666666666666 PI)))))
   (* 2.0 (* (cbrt t_0) (cbrt (* t_0 t_0))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(fma(0.3333333333333333, acos(-(g / h)), (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))));
	return 2.0 * (cbrt(t_0) * cbrt(t_0 * t_0));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-cbrt-cube_binary641.5

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}} \]

  4. Simplified1.0

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}^{3}}} \]

  5. Applied cube-mult_binary641.6

    \[\leadsto 2 \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)}} \]

  6. Applied cbrt-prod_binary640.1

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} \]

  7. Final simplification0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021291 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))