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Precision: binary32
\[\left(0 \leq cosTheta \land cosTheta \leq 1\right) \land \left(0.0001 \leq \alpha \land \alpha \leq 1\right)\]
\[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \alpha \cdot \alpha - 1\\ t_1 := 1 + cosTheta \cdot \left(t_0 \cdot cosTheta\right)\\ t_2 := \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\\ \sqrt[3]{\frac{t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(t_2 \cdot {t_2}^{2}\right)\right) \cdot \left(t_1 \cdot \left(t_1 \cdot t_1\right)\right)}} \end{array} \]
\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \alpha \cdot \alpha - 1\\
t_1 := 1 + cosTheta \cdot \left(t_0 \cdot cosTheta\right)\\
t_2 := \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\\
\sqrt[3]{\frac{t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(t_2 \cdot {t_2}^{2}\right)\right) \cdot \left(t_1 \cdot \left(t_1 \cdot t_1\right)\right)}}
\end{array}

(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (/
  (- (* alpha alpha) 1.0)
  (*
   (* PI (log (* alpha alpha)))
   (+ 1.0 (* (* (- (* alpha alpha) 1.0) cosTheta) cosTheta)))))
↓
(FPCore (cosTheta alpha)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (- (* alpha alpha) 1.0))
        (t_1 (+ 1.0 (* cosTheta (* t_0 cosTheta))))
        (t_2 (log (* alpha alpha))))
   (cbrt
    (/
     (* t_0 (* t_0 t_0))
     (* (* (* PI (* PI PI)) (* t_2 (pow t_2 2.0))) (* t_1 (* t_1 t_1)))))))
float code(float cosTheta, float alpha) {
	return ((alpha * alpha) - 1.0f) / ((((float) M_PI) * logf(alpha * alpha)) * (1.0f + ((((alpha * alpha) - 1.0f) * cosTheta) * cosTheta)));
}
↓
float code(float cosTheta, float alpha) {
	float t_0 = (alpha * alpha) - 1.0f;
	float t_1 = 1.0f + (cosTheta * (t_0 * cosTheta));
	float t_2 = logf(alpha * alpha);
	return cbrtf((t_0 * (t_0 * t_0)) / (((((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))) * (t_2 * powf(t_2, 2.0f))) * (t_1 * (t_1 * t_1))));
}

Error

Bits error versus cosTheta

Bits error versus alpha

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Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)} \]

  2. Applied add-cbrt-cube_binary320.5

    \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}}} \]

  3. Applied add-cbrt-cube_binary320.5

    \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\pi \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

  4. Applied add-cbrt-cube_binary320.5

    \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}} \cdot \sqrt[3]{\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

  5. Applied cbrt-unprod_binary320.5

    \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)}} \]

  6. Applied cbrt-unprod_binary320.5

    \[\leadsto \frac{\alpha \cdot \alpha - 1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}}} \]

  7. Applied add-cbrt-cube_binary320.5

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)}}}{\sqrt[3]{\left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

  8. Applied cbrt-undiv_binary320.4

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)}{\left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right) \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}}} \]

  9. Applied pow2_binary320.4

    \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)}{\left(\left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right) \cdot \left(\color{blue}{{\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}^{2}} \cdot \log \left(\alpha \cdot \alpha\right)\right)\right) \cdot \left(\left(\left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right) \cdot cosTheta\right)\right)}} \]

  10. Final simplification0.4

    \[\leadsto \sqrt[3]{\frac{\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot \left(\alpha \cdot \alpha - 1\right)\right)}{\left(\left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\log \left(\alpha \cdot \alpha\right) \cdot {\log \left(\alpha \cdot \alpha\right)}^{2}\right)\right) \cdot \left(\left(1 + cosTheta \cdot \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(\left(1 + cosTheta \cdot \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right)\right) \cdot \left(1 + cosTheta \cdot \left(\left(\alpha \cdot \alpha - 1\right) \cdot cosTheta\right)\right)\right)\right)}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021280 
(FPCore (cosTheta alpha)
  :name "GTR1 distribution"
  :precision binary32
  :pre (and (and (<= 0.0 cosTheta) (<= cosTheta 1.0)) (and (<= 0.0001 alpha) (<= alpha 1.0)))
  (/ (- (* alpha alpha) 1.0) (* (* PI (log (* alpha alpha))) (+ 1.0 (* (* (- (* alpha alpha) 1.0) cosTheta) cosTheta)))))