Average Error: 2.5 → 0.5
Time: 19.3s
Precision: binary32
\[\left(\left(-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1\right) \land \left(-1 \leq h \land h \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq eta \land eta \leq 10\right)\]
\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\\ t_1 := \sqrt[3]{eta - t_0}\\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + t_0} \cdot \left(\left|t_1\right| \cdot \sqrt{t_1}\right)}\right) \end{array} \]
\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\\
t_1 := \sqrt[3]{eta - t_0}\\
\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + t_0} \cdot \left(\left|t_1\right| \cdot \sqrt{t_1}\right)}\right)
\end{array}

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))
↓
(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ sinTheta_O (sqrt (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O))))))
        (t_1 (cbrt (- eta t_0))))
   (asin (/ h (* (sqrt (+ eta t_0)) (* (fabs t_1) (sqrt t_1)))))))
float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf(h / sqrtf((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf(1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O)))));
}
↓
float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	float t_0 = sinTheta_O / sqrtf(sqrtf(1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O)));
	float t_1 = cbrtf(eta - t_0);
	return asinf(h / (sqrtf(eta + t_0) * (fabsf(t_1) * sqrtf(t_1))));
}

Error

Bits error versus sinTheta_O

Bits error versus h

Bits error versus eta

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 2.5

    \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]

  2. Applied add-sqr-sqrt_binary322.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}} \cdot \sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  3. Applied times-frac_binary322.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \color{blue}{\frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}} \cdot \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  4. Applied difference-of-squares_binary322.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{\left(eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right) \cdot \left(eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right)}}}\right) \]

  5. Applied sqrt-prod_binary320.4

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  6. Applied add-cube-cbrt_binary320.6

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \cdot \sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}}\right) \]

  7. Applied sqrt-prod_binary320.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right)}}\right) \]

  8. Simplified0.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right)}\right) \]

  9. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \left(\left|\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021280 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (<= -1.0 sinTheta_O) (<= sinTheta_O 1.0)) (and (<= -1.0 h) (<= h 1.0))) (and (<= 0.0 eta) (<= eta 10.0)))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))