Average Error: 43.3 → 0.6
Time: 11.9s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, \left(0.0003968253968253968 \cdot {\left(\sqrt[3]{im} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{im}}\right)\right)}^{7}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right) \]
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, \left(0.0003968253968253968 \cdot {\left(\sqrt[3]{im} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{im}}\right)\right)}^{7}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right)

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow im 5.0)
   (fma
    0.3333333333333333
    (pow im 3.0)
    (fma
     im
     2.0
     (*
      (*
       0.0003968253968253968
       (pow
        (* (cbrt im) (* (cbrt (* (cbrt im) (cbrt im))) (cbrt (cbrt im))))
        7.0))
      (pow (cbrt im) 7.0)))))
  (* (sin re) -0.5)))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(im, 5.0), fma(0.3333333333333333, pow(im, 3.0), fma(im, 2.0, ((0.0003968253968253968 * pow((cbrt(im) * (cbrt(cbrt(im) * cbrt(im)) * cbrt(cbrt(im)))), 7.0)) * pow(cbrt(im), 7.0))))) * (sin(re) * -0.5);
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.3
Target0.3
Herbie0.6
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.3

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified0.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

  4. Applied add-cube-cbrt_binary640.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}\right)}}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

  5. Applied unpow-prod-down_binary640.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right)}^{7} \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right)}\right)\right)\right)\right) \]

  6. Applied associate-*r*_binary640.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, \color{blue}{\left(0.0003968253968253968 \cdot {\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}}\right)\right)\right)\right) \]

  7. Applied add-cube-cbrt_binary640.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, \left(0.0003968253968253968 \cdot {\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}\right) \cdot \sqrt[3]{im}}}\right)}^{7}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

  8. Applied cbrt-prod_binary640.6

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, \left(0.0003968253968253968 \cdot {\left(\sqrt[3]{im} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{im}}\right)}\right)}^{7}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right)\right)\right)\right) \]

  9. Final simplification0.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, \left(0.0003968253968253968 \cdot {\left(\sqrt[3]{im} \cdot \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{im} \cdot \sqrt[3]{im}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{im}}\right)\right)}^{7}\right) \cdot {\left(\sqrt[3]{im}\right)}^{7}\right)\right)\right) \cdot \left(\sin re \cdot -0.5\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021280 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))