Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.3 → 0.2

Time: 5.3s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.8297748454794667 \cdot 10^{+42}:\\ \;\;\;\;0.0692910599291889 \cdot y + x\\ \mathbf{elif}\;z \leq 53208616.726440884:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= z -1.8297748454794667e+42)
   (+ (* 0.0692910599291889 y) x)
   (if (<= z 53208616.726440884)
     (fma
      y
      (/
       (fma
        z
        (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968)
        0.279195317918525)
       (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))
      x)
     (fma y (+ 0.0692910599291889 (/ 0.07512208616047561 z)) x))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z <= -1.8297748454794667e+42) {
		tmp = (0.0692910599291889 * y) + x;
	} else if (z <= 53208616.726440884) {
		tmp = fma(y, (fma(z, ((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304)), x);
	} else {
		tmp = fma(y, (0.0692910599291889 + (0.07512208616047561 / z)), x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.3
Target	0.4
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < -1.82977484547946669e42

   1. Initial program 44.7

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 36.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{0.0692910599291889 \cdot y + x} \]

   4. Applied add-cube-cbrt_binary64 0.7

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{0.0692910599291889 \cdot y} \cdot \sqrt[3]{0.0692910599291889 \cdot y}\right) \cdot \sqrt[3]{0.0692910599291889 \cdot y}} + x \]

   5. Applied pow1/3_binary64 31.5

      \[\leadsto \left(\sqrt[3]{0.0692910599291889 \cdot y} \cdot \sqrt[3]{0.0692910599291889 \cdot y}\right) \cdot \color{blue}{{\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333}} + x \]

   6. Applied pow1/3_binary64 31.8

      \[\leadsto \left(\sqrt[3]{0.0692910599291889 \cdot y} \cdot \color{blue}{{\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot {\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333} + x \]

   7. Applied pow1/3_binary64 31.9

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333}} \cdot {\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333}\right) \cdot {\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333} + x \]

   8. Applied pow-sqr_binary64 31.9

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot {\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{0.3333333333333333} + x \]

   9. Applied pow-prod-up_binary64 0.3

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(0.0692910599291889 \cdot y\right)}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}} + x \]

   if -1.82977484547946669e42 < z < 53208616.7264408842

   1. Initial program 0.5

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Applied fma-udef_binary64 0.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \color{blue}{z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968}, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right) \]

   if 53208616.7264408842 < z

   1. Initial program 41.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 33.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}}, x\right) \]

   4. Simplified 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}}, x\right) \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.8297748454794667 \cdot 10^{+42}:\\ \;\;\;\;0.0692910599291889 \cdot y + x\\ \mathbf{elif}\;z \leq 53208616.726440884:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968, 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021280 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))