Jmat.Real.lambertw, newton loop step

Average Error: 13.7 → 0.4

Time: 11.3s

Precision: binary64

Math

\[wj - \frac{wj \cdot e^{wj} - x}{e^{wj} + wj \cdot e^{wj}} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\begin{array}{l} t_0 := wj \cdot e^{wj}\\ wj - \frac{t_0 - x}{e^{wj} + t_0} \leq 4.6383869717560495 \cdot 10^{-12} \end{array}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right) + \left(wj \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(wj, 2.5, -2\right)\right) - {wj}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, 2.6666666666666665, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;wj + \frac{x \cdot e^{-wj} - wj}{\mathsf{fma}\left(wj, wj, -1\right)} \cdot \left(wj + -1\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (wj x)
 :precision binary64
 (- wj (/ (- (* wj (exp wj)) x) (+ (exp wj) (* wj (exp wj))))))

↓

(FPCore (wj x)
 :precision binary64
 (if (let* ((t_0 (* wj (exp wj))))
       (<= (- wj (/ (- t_0 x) (+ (exp wj) t_0))) 4.6383869717560495e-12))
   (-
    (+ (fma wj wj x) (* (* wj x) (fma wj 2.5 -2.0)))
    (* (pow wj 3.0) (fma x 2.6666666666666665 1.0)))
   (+ wj (* (/ (- (* x (exp (- wj))) wj) (fma wj wj -1.0)) (+ wj -1.0)))))

C

double code(double wj, double x) {
	return wj - (((wj * exp(wj)) - x) / (exp(wj) + (wj * exp(wj))));
}

↓

double code(double wj, double x) {
	double t_0 = wj * exp(wj);
	double tmp;
	if ((wj - ((t_0 - x) / (exp(wj) + t_0))) <= 4.6383869717560495e-12) {
		tmp = (fma(wj, wj, x) + ((wj * x) * fma(wj, 2.5, -2.0))) - (pow(wj, 3.0) * fma(x, 2.6666666666666665, 1.0));
	} else {
		tmp = wj + ((((x * exp(-wj)) - wj) / fma(wj, wj, -1.0)) * (wj + -1.0));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus wj

Bits error versus x

Target

Original	13.7
Target	13.2
Herbie	0.4

\[wj - \left(\frac{wj}{wj + 1} - \frac{x}{e^{wj} + wj \cdot e^{wj}}\right) \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 wj (/.f64 (-.f64 (*.f64 wj (exp.f64 wj)) x) (+.f64 (exp.f64 wj) (*.f64 wj (exp.f64 wj))))) < 4.63838697176e-12

   1. Initial program 18.2

      \[wj - \frac{wj \cdot e^{wj} - x}{e^{wj} + wj \cdot e^{wj}} \]

   2. Simplified 18.1

      \[\leadsto \color{blue}{wj + \frac{\frac{x}{e^{wj}} - wj}{wj + 1}} \]

   3. Taylor expanded in wj around 0 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(2.5 \cdot \left({wj}^{2} \cdot x\right) + \left({wj}^{2} + x\right)\right) - \left(2 \cdot \left(wj \cdot x\right) + \left(2.6666666666666665 \cdot \left({wj}^{3} \cdot x\right) + {wj}^{3}\right)\right)} \]

   4. Simplified 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right) - \mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \]

   5. Applied add-cube-cbrt_binary64 0.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right) - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}} \]

   6. Applied add-cube-cbrt_binary64 1.8

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right)}} - \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \]

   7. Applied prod-diff_binary64 1.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(2.5, x \cdot \left(wj \cdot wj\right), \mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right)\right)}, -\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}\right)\right) + \mathsf{fma}\left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}\right)\right)} \]

   8. Simplified 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(\mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right) + \left(wj \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(wj, 2.5, -2\right)\right) - {wj}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, 2.6666666666666665, 1\right)\right)} + \mathsf{fma}\left(-\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}, \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \left(\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)} \cdot \sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, \mathsf{fma}\left(2, wj, 2.6666666666666665 \cdot {wj}^{3}\right), {wj}^{3}\right)}\right)\right) \]

   9. Simplified 0.4

      \[\leadsto \left(\left(\mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right) + \left(wj \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(wj, 2.5, -2\right)\right) - {wj}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, 2.6666666666666665, 1\right)\right) + \color{blue}{0} \]

   if 4.63838697176e-12 < (-.f64 wj (/.f64 (-.f64 (*.f64 wj (exp.f64 wj)) x) (+.f64 (exp.f64 wj) (*.f64 wj (exp.f64 wj)))))

   1. Initial program 2.0

      \[wj - \frac{wj \cdot e^{wj} - x}{e^{wj} + wj \cdot e^{wj}} \]

   2. Simplified 0.4

      \[\leadsto \color{blue}{wj + \frac{\frac{x}{e^{wj}} - wj}{wj + 1}} \]

   3. Applied flip-+_binary64 0.4

      \[\leadsto wj + \frac{\frac{x}{e^{wj}} - wj}{\color{blue}{\frac{wj \cdot wj - 1 \cdot 1}{wj - 1}}} \]

   4. Applied associate-/r/_binary64 0.4

      \[\leadsto wj + \color{blue}{\frac{\frac{x}{e^{wj}} - wj}{wj \cdot wj - 1 \cdot 1} \cdot \left(wj - 1\right)} \]

   5. Simplified 0.4

      \[\leadsto wj + \color{blue}{\frac{\frac{x}{e^{wj}} - wj}{\mathsf{fma}\left(wj, wj, -1\right)}} \cdot \left(wj - 1\right) \]

   6. Applied div-inv_binary64 0.4

      \[\leadsto wj + \frac{\color{blue}{x \cdot \frac{1}{e^{wj}}} - wj}{\mathsf{fma}\left(wj, wj, -1\right)} \cdot \left(wj - 1\right) \]

   7. Simplified 0.4

      \[\leadsto wj + \frac{x \cdot \color{blue}{e^{-wj}} - wj}{\mathsf{fma}\left(wj, wj, -1\right)} \cdot \left(wj - 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.4

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;wj - \frac{wj \cdot e^{wj} - x}{e^{wj} + wj \cdot e^{wj}} \leq 4.6383869717560495 \cdot 10^{-12}:\\ \;\;\;\;\left(\mathsf{fma}\left(wj, wj, x\right) + \left(wj \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(wj, 2.5, -2\right)\right) - {wj}^{3} \cdot \mathsf{fma}\left(x, 2.6666666666666665, 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;wj + \frac{x \cdot e^{-wj} - wj}{\mathsf{fma}\left(wj, wj, -1\right)} \cdot \left(wj + -1\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021275 
(FPCore (wj x)
  :name "Jmat.Real.lambertw, newton loop step"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- wj (- (/ wj (+ wj 1.0)) (/ x (+ (exp wj) (* wj (exp wj))))))

  (- wj (/ (- (* wj (exp wj)) x) (+ (exp wj) (* wj (exp wj))))))