math.cos on complex, imaginary part

Average Error: 43.3 → 0.8

Time: 14.8s

Precision: binary64

Math

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

↓

\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, im \cdot -2\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (*
  (* 0.5 (sin re))
  (fma
   (pow im 5.0)
   -0.016666666666666666
   (fma (pow im 3.0) -0.3333333333333333 (* im -2.0)))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

↓

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * fma(pow(im, 5.0), -0.016666666666666666, fma(pow(im, 3.0), -0.3333333333333333, (im * -2.0)));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	43.3
Target	0.3
Herbie	0.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 43.3

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + 2 \cdot im\right)\right)\right)} \]

3. Simplified 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, -2 \cdot im\right)\right)} \]

4. Final simplification 0.8

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, -0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({im}^{3}, -0.3333333333333333, im \cdot -2\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021275 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))