Average Error: 26.1 → 6.3
Time: 6.0s
Precision: binary64
\[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -2.0316919383101615 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, y.re, x.im\right) \cdot \frac{-1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 9.773934898556053 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \frac{y.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \frac{x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, \frac{y.re}{y.im}, \frac{x.im}{y.im}\right)\\ \end{array} \]
\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;y.im \leq -2.0316919383101615 \cdot 10^{+102}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, y.re, x.im\right) \cdot \frac{-1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\

\mathbf{elif}\;y.im \leq 9.773934898556053 \cdot 10^{+148}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \frac{y.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \frac{x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, \frac{y.re}{y.im}, \frac{x.im}{y.im}\right)\\


\end{array}

(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))
↓
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
 :precision binary64
 (if (<= y.im -2.0316919383101615e+102)
   (* (fma (/ x.re y.im) y.re x.im) (/ -1.0 (hypot y.im y.re)))
   (if (<= y.im 9.773934898556053e+148)
     (fma
      x.im
      (/ y.im (fma y.im y.im (* y.re y.re)))
      (* (/ y.re (hypot y.im y.re)) (/ x.re (hypot y.im y.re))))
     (fma (/ x.re y.im) (/ y.re y.im) (/ x.im y.im)))))
double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	return ((x_46_re * y_46_re) + (x_46_im * y_46_im)) / ((y_46_re * y_46_re) + (y_46_im * y_46_im));
}
↓
double code(double x_46_re, double x_46_im, double y_46_re, double y_46_im) {
	double tmp;
	if (y_46_im <= -2.0316919383101615e+102) {
		tmp = fma((x_46_re / y_46_im), y_46_re, x_46_im) * (-1.0 / hypot(y_46_im, y_46_re));
	} else if (y_46_im <= 9.773934898556053e+148) {
		tmp = fma(x_46_im, (y_46_im / fma(y_46_im, y_46_im, (y_46_re * y_46_re))), ((y_46_re / hypot(y_46_im, y_46_re)) * (x_46_re / hypot(y_46_im, y_46_re))));
	} else {
		tmp = fma((x_46_re / y_46_im), (y_46_re / y_46_im), (x_46_im / y_46_im));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x.re

Bits error versus x.im

Bits error versus y.re

Bits error versus y.im

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if y.im < -2.0316919383101615e102

    1. Initial program 39.5

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \]

    2. Simplified39.5

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6439.5

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}}} \]

    4. Applied *-un-lft-identity_binary6439.5

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    5. Applied times-frac_binary6439.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}}} \]

    6. Simplified39.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    7. Simplified26.4

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y.im, x.im, y.re \cdot x.re\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}} \]

    8. Taylor expanded in y.im around -inf 13.2

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \color{blue}{\left(-\left(\frac{x.re \cdot y.re}{y.im} + x.im\right)\right)} \]

    9. Simplified8.7

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, y.re, x.im\right)\right)} \]

    if -2.0316919383101615e102 < y.im < 9.77393489855605291e148

    1. Initial program 18.7

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \]

    2. Simplified18.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    3. Taylor expanded in x.re around 0 18.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{y.im \cdot x.im}{{y.im}^{2} + {y.re}^{2}} + \frac{x.re \cdot y.re}{{y.im}^{2} + {y.re}^{2}}} \]

    4. Simplified17.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \frac{y.re \cdot x.re}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}\right)} \]

    5. Applied add-sqr-sqrt_binary6417.6

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \frac{y.re \cdot x.re}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\right) \]

    6. Applied times-frac_binary6415.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \color{blue}{\frac{y.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}}\right) \]

    7. Simplified15.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \color{blue}{\frac{y.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}} \cdot \frac{x.re}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}}\right) \]

    8. Simplified5.5

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \frac{y.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \color{blue}{\frac{x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}}\right) \]

    if 9.77393489855605291e148 < y.im

    1. Initial program 45.0

      \[\frac{x.re \cdot y.re + x.im \cdot y.im}{y.re \cdot y.re + y.im \cdot y.im} \]

    2. Simplified45.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6445.0

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}}} \]

    4. Applied *-un-lft-identity_binary6445.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    5. Applied times-frac_binary6445.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}}} \]

    6. Simplified45.0

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}} \cdot \frac{\mathsf{fma}\left(x.re, y.re, x.im \cdot y.im\right)}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(y.re, y.re, y.im \cdot y.im\right)}} \]

    7. Simplified29.0

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y.im, x.im, y.re \cdot x.re\right)}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}} \]

    8. Taylor expanded in y.im around inf 14.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x.re \cdot y.re}{{y.im}^{2}} + \frac{x.im}{y.im}} \]

    9. Simplified7.3

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, \frac{y.re}{y.im}, \frac{x.im}{y.im}\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification6.3

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y.im \leq -2.0316919383101615 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, y.re, x.im\right) \cdot \frac{-1}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\\ \mathbf{elif}\;y.im \leq 9.773934898556053 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x.im, \frac{y.im}{\mathsf{fma}\left(y.im, y.im, y.re \cdot y.re\right)}, \frac{y.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)} \cdot \frac{x.re}{\mathsf{hypot}\left(y.im, y.re\right)}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(\frac{x.re}{y.im}, \frac{y.re}{y.im}, \frac{x.im}{y.im}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021275 
(FPCore (x.re x.im y.re y.im)
  :name "_divideComplex, real part"
  :precision binary64
  (/ (+ (* x.re y.re) (* x.im y.im)) (+ (* y.re y.re) (* y.im y.im))))