Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A

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Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := y \cdot z - t \cdot a\\ \mathbf{if}\;\begin{array}{l} t_2 := \left(x \cdot t_1 - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\\ t_2 \leq -\infty \lor \neg \left(t_2 \leq 1.8304720555710784 \cdot 10^{+300}\right) \end{array}:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(x \cdot t\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, t_1, j \cdot \mathsf{fma}\left(a, c, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i))))
  (* j (- (* c a) (* y i)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (- (* y z) (* t a))))
   (if (let* ((t_2
               (+
                (- (* x t_1) (* b (- (* z c) (* t i))))
                (* j (- (* a c) (* y i))))))
         (or (<= t_2 (- INFINITY)) (not (<= t_2 1.8304720555710784e+300))))
     (-
      (+ (* i (* t b)) (+ (* c (* a j)) (* y (* x z))))
      (+ (* i (* y j)) (+ (* a (* x t)) (* c (* z b)))))
     (fma
      b
      (- (* t i) (* z c))
      (fma
       x
       t_1
       (+ (* j (fma a c (- (* y i)))) (* j (fma (- i) y (* y i)))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (t * i)))) + (j * ((c * a) - (y * i)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = (y * z) - (t * a);
	double t_2 = ((x * t_1) - (b * ((z * c) - (t * i)))) + (j * ((a * c) - (y * i)));
	double tmp;
	if ((t_2 <= -((double) INFINITY)) || !(t_2 <= 1.8304720555710784e+300)) {
		tmp = ((i * (t * b)) + ((c * (a * j)) + (y * (x * z)))) - ((i * (y * j)) + ((a * (x * t)) + (c * (z * b))));
	} else {
		tmp = fma(b, ((t * i) - (z * c)), fma(x, t_1, ((j * fma(a, c, -(y * i))) + (j * fma(-i, y, (y * i))))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	11.7
Target	19.6
Herbie	2.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x < -1.469694296777705 \cdot 10^{-64}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \mathbf{elif}\;x < 3.2113527362226803 \cdot 10^{-147}:\\ \;\;\;\;\left(b \cdot i - x \cdot a\right) \cdot t - \left(z \cdot \left(c \cdot b\right) - j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - \frac{b \cdot \left({\left(c \cdot z\right)}^{2} - {\left(t \cdot i\right)}^{2}\right)}{c \cdot z + t \cdot i}\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < -inf.0 or 1.8304720555710784e300 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i))))

   1. Initial program 60.2

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 60.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in t around 0 11.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(t \cdot x\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)} \]

   if -inf.0 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 t i)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c a) (*.f64 y i)))) < 1.8304720555710784e300

   1. Initial program 0.8

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot a - y \cdot i\right) \]

   2. Simplified 0.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Applied prod-diff_binary64 0.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(a, c, -i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\right)\right) \]

   4. Applied distribute-rgt-in_binary64 0.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, c, -i \cdot y\right) \cdot j + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right) \cdot j}\right)\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 2.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq -\infty \lor \neg \left(\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - t \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(a \cdot c - y \cdot i\right) \leq 1.8304720555710784 \cdot 10^{+300}\right):\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(t \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(a \cdot j\right) + y \cdot \left(x \cdot z\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(a \cdot \left(x \cdot t\right) + c \cdot \left(z \cdot b\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, t \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \mathsf{fma}\left(a, c, -y \cdot i\right) + j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021275 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Data.Colour.Matrix:determinant from colour-2.3.3, A"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< x -1.469694296777705e-64) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))) (if (< x 3.2113527362226803e-147) (- (* (- (* b i) (* x a)) t) (- (* z (* c b)) (* j (- (* c a) (* y i))))) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (/ (* b (- (pow (* c z) 2.0) (pow (* t i) 2.0))) (+ (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* t i)))) (* j (- (* c a) (* y i)))))