Average Error: 19.8 → 0.2
Time: 4.0s
Precision: binary64
\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -9.266745458061337 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(y \cdot 0.0692910599291889 + x\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 5.090581649151647 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}, x\right)\\ \end{array} \]
x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;z \leq -9.266745458061337 \cdot 10^{+43}:\\
\;\;\;\;\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(y \cdot 0.0692910599291889 + x\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}\\

\mathbf{elif}\;z \leq 5.090581649151647 \cdot 10^{+21}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right), x\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}, x\right)\\


\end{array}

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (<= z -9.266745458061337e+43)
   (-
    (+ (* 0.07512208616047561 (/ y z)) (+ (* y 0.0692910599291889) x))
    (* 0.4046220386999212 (/ y (pow z 2.0))))
   (if (<= z 5.090581649151647e+21)
     (fma
      y
      (expm1
       (log1p
        (/
         (fma
          z
          (fma z 0.0692910599291889 0.4917317610505968)
          0.279195317918525)
         (fma z (+ z 6.012459259764103) 3.350343815022304))))
      x)
     (fma
      y
      (-
       (+ 0.0692910599291889 (/ 0.07512208616047561 z))
       (/ 0.4046220386999212 (* z z)))
      x))))
double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z <= -9.266745458061337e+43) {
		tmp = ((0.07512208616047561 * (y / z)) + ((y * 0.0692910599291889) + x)) - (0.4046220386999212 * (y / pow(z, 2.0)));
	} else if (z <= 5.090581649151647e+21) {
		tmp = fma(y, expm1(log1p(fma(z, fma(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968), 0.279195317918525) / fma(z, (z + 6.012459259764103), 3.350343815022304))), x);
	} else {
		tmp = fma(y, ((0.0692910599291889 + (0.07512208616047561 / z)) - (0.4046220386999212 / (z * z))), x);
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original19.8
Target0.4
Herbie0.2
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if z < -9.2667454580613365e43

    1. Initial program 45.8

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified37.4

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around inf 0.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(0.0692910599291889 \cdot y + x\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}} \]

    if -9.2667454580613365e43 < z < 5.0905816491516473e21

    1. Initial program 0.6

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified0.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Applied expm1-log1p-u_binary640.1

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right)}, x\right) \]

    if 5.0905816491516473e21 < z

    1. Initial program 42.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

    2. Simplified34.5

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

    3. Taylor expanded in z around inf 0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(0.0692910599291889 + 0.07512208616047561 \cdot \frac{1}{z}\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{1}{{z}^{2}}}, x\right) \]

    4. Simplified0.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{\left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}}, x\right) \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification0.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -9.266745458061337 \cdot 10^{+43}:\\ \;\;\;\;\left(0.07512208616047561 \cdot \frac{y}{z} + \left(y \cdot 0.0692910599291889 + x\right)\right) - 0.4046220386999212 \cdot \frac{y}{{z}^{2}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 5.090581649151647 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}\right)\right), x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, \left(0.0692910599291889 + \frac{0.07512208616047561}{z}\right) - \frac{0.4046220386999212}{z \cdot z}, x\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021275 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))