Average Error: 0.3 → 0.3
Time: 19.5s
Precision: binary32
\[-10000 \leq xi \land xi \leq 10000 \land -10000 \leq yi \land yi \leq 10000 \land -10000 \leq zi \land zi \leq 10000 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1 \land 0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\]
\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ \mathsf{fma}\left(ux, t_0 \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot 8\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \end{array} \]
\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\
\mathsf{fma}\left(ux, t_0 \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(t_0 \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot 8\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot yi\right)\right)
\end{array}

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))
↓
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (- 1.0 ux) maxCos)))
   (fma
    ux
    (* t_0 zi)
    (*
     (sqrt (fma ux (* ux (* t_0 (- (* ux maxCos) maxCos))) 1.0))
     (fma
      (cos (log1p (expm1 (* (* uy 2.0) PI))))
      xi
      (* (sin (cbrt (* (* (* uy (* uy uy)) 8.0) (* PI (* PI PI))))) yi))))))
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux)))) * xi) + ((sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux)))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}
↓
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (1.0f - ux) * maxCos;
	return fmaf(ux, (t_0 * zi), (sqrtf(fmaf(ux, (ux * (t_0 * ((ux * maxCos) - maxCos))), 1.0f)) * fmaf(cosf(log1pf(expm1f((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)))), xi, (sinf(cbrtf(((uy * (uy * uy)) * 8.0f) * (((float) M_PI) * (((float) M_PI) * ((float) M_PI))))) * yi))));
}

Error

Bits error versus xi

Bits error versus yi

Bits error versus zi

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

  1. Initial program 0.3

    \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

  2. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right)} \]

  3. Applied log1p-expm1-u_binary320.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \color{blue}{\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right)\right) \]

  4. Applied add-cbrt-cube_binary320.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}}\right) \cdot yi\right)\right) \]

  5. Applied add-cbrt-cube_binary320.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\left(uy \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2}}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}\right) \cdot yi\right)\right) \]

  6. Applied add-cbrt-cube_binary320.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy}} \cdot \sqrt[3]{\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2}\right) \cdot \sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}\right) \cdot yi\right)\right) \]

  7. Applied cbrt-unprod_binary320.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right) \cdot \left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi}\right) \cdot yi\right)\right) \]

  8. Applied cbrt-unprod_binary320.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(\left(uy \cdot uy\right) \cdot uy\right) \cdot \left(\left(2 \cdot 2\right) \cdot 2\right)\right) \cdot \left(\left(\pi \cdot \pi\right) \cdot \pi\right)}\right)} \cdot yi\right)\right) \]

  9. Final simplification0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos\right)\right), 1\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(\cos \left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right)\right), xi, \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(uy \cdot \left(uy \cdot uy\right)\right) \cdot 8\right) \cdot \left(\pi \cdot \left(\pi \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot yi\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021225 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (<= -10000.0 xi 10000.0) (<= -10000.0 yi 10000.0) (<= -10000.0 zi 10000.0) (<= 2.328306437e-10 ux 1.0) (<= 2.328306437e-10 uy 1.0) (<= 0.0 maxCos 1.0))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))