UniformSampleCone, y

Average Error: 13.7 → 0.5

Time: 35.0s

Precision: binary32

\[2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1 \land 0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\]

Math

\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := 2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right)\\ \sqrt[3]{\left(\left(t_0 - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + ux \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right)\right)\right) \cdot {\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{t_0 - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))

↓

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 2.0 (fma maxCos (* ux ux) ux))))
   (cbrt
    (*
     (*
      (- t_0 (* ux (+ (* 2.0 maxCos) (* ux (fma maxCos maxCos 1.0)))))
      (pow (sin (* 2.0 (* uy PI))) 3.0))
     (sqrt
      (-
       t_0
       (+ (* (* ux ux) (fma maxCos maxCos 1.0)) (* 2.0 (* maxCos ux)))))))))

C

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}

↓

float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = 2.0f * fmaf(maxCos, (ux * ux), ux);
	return cbrtf(((t_0 - (ux * ((2.0f * maxCos) + (ux * fmaf(maxCos, maxCos, 1.0f))))) * powf(sinf(2.0f * (uy * ((float) M_PI))), 3.0f)) * sqrtf(t_0 - (((ux * ux) * fmaf(maxCos, maxCos, 1.0f)) + (2.0f * (maxCos * ux)))));
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

Derivation

1. Initial program 13.7

   \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

2. Simplified 13.7

   \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(ux, maxCos, 1 - ux\right), ux - \mathsf{fma}\left(ux, maxCos, 1\right), 1\right)}} \]

3. Taylor expanded in ux around 0 0.5

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(2 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + 2 \cdot ux\right) - \left({ux}^{2} + \left({maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2} + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)\right)}} \]

4. Simplified 0.5

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}} \]

5. Applied add-cbrt-cube_binary32 0.5

   \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}}} \]

6. Applied add-cbrt-cube_binary32 0.5

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}} \]

7. Applied cbrt-unprod_binary32 0.6

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right)}} \]

8. Applied associate-*r*_binary32 0.6

   \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(\left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}\right)\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}}} \]

9. Simplified 0.5

   \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot ux\right)\right) \cdot {\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}} \]

10. Final simplification 0.5

    \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - ux \cdot \left(2 \cdot maxCos + ux \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right)\right)\right) \cdot {\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, ux \cdot ux, ux\right) - \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \mathsf{fma}\left(maxCos, maxCos, 1\right) + 2 \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021225 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (<= 2.328306437e-10 ux 1.0) (<= 2.328306437e-10 uy 1.0) (<= 0.0 maxCos 1.0))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))