Average Error: 0.1 → 0.3
Time: 4.9s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
↓
\[a + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\left(\left(\frac{0.1111111111111111}{a} + \frac{0.037037037037037035}{a \cdot a}\right) + \frac{0.012345679012345678}{{a}^{3}}\right) + \frac{0.00411522633744856}{{a}^{4}}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right) \]
\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
a + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\left(\left(\frac{0.1111111111111111}{a} + \frac{0.037037037037037035}{a \cdot a}\right) + \frac{0.012345679012345678}{{a}^{3}}\right) + \frac{0.00411522633744856}{{a}^{4}}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (fma
   rand
   (*
    (sqrt
     (+
      (+
       (+ (/ 0.1111111111111111 a) (/ 0.037037037037037035 (* a a)))
       (/ 0.012345679012345678 (pow a 3.0)))
      (/ 0.00411522633744856 (pow a 4.0))))
    (+ a -0.3333333333333333))
   -0.3333333333333333)))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt(9.0 * (a - (1.0 / 3.0)))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return a + fma(rand, (sqrt((((0.1111111111111111 / a) + (0.037037037037037035 / (a * a))) + (0.012345679012345678 / pow(a, 3.0))) + (0.00411522633744856 / pow(a, 4.0))) * (a + -0.3333333333333333)), -0.3333333333333333);
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

  2. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}\right)} \]

  3. Taylor expanded in rand around 0 9.0

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(a \cdot rand\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a - 3}}\right) + 0.3333333333333333\right)} \]

  4. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right)} \]

  5. Taylor expanded in a around inf 0.3

    \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\color{blue}{0.00411522633744856 \cdot \frac{1}{{a}^{4}} + \left(0.012345679012345678 \cdot \frac{1}{{a}^{3}} + \left(0.037037037037037035 \cdot \frac{1}{{a}^{2}} + 0.1111111111111111 \cdot \frac{1}{a}\right)\right)}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right) \]

  6. Simplified0.3

    \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\color{blue}{\left(\left(\frac{0.1111111111111111}{a} + \frac{0.037037037037037035}{a \cdot a}\right) + \frac{0.012345679012345678}{{a}^{3}}\right) + \frac{0.00411522633744856}{{a}^{4}}}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right) \]

  7. Final simplification0.3

    \[\leadsto a + \mathsf{fma}\left(rand, \sqrt{\left(\left(\frac{0.1111111111111111}{a} + \frac{0.037037037037037035}{a \cdot a}\right) + \frac{0.012345679012345678}{{a}^{3}}\right) + \frac{0.00411522633744856}{{a}^{4}}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right), -0.3333333333333333\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021224 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))