Average Error: 1.0 → 0.1
Time: 7.3s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\\ 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, t_0\right)\right)}\right)}^{6}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, t_0\right)\right)}\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\\
2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, t_0\right)\right)}\right)}^{6}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, t_0\right)\right)}\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (acos (- (/ g h))) 3.0)))
   (*
    2.0
    (*
     (cbrt (pow (cbrt (cos (fma 0.6666666666666666 PI t_0))) 6.0))
     (cbrt (cos (fma PI 0.6666666666666666 t_0)))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-(g / h)) / 3.0;
	return 2.0 * (cbrt(pow(cbrt(cos(fma(0.6666666666666666, ((double) M_PI), t_0))), 6.0)) * cbrt(cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, t_0))));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied add-cube-cbrt_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)} \]

  4. Applied add-cbrt-cube_binary640.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)\right) \cdot \left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

  5. Simplified0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)}^{6}}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

  6. Final simplification0.1

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\sqrt[3]{{\left(\sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right)}^{6}} \cdot \sqrt[3]{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(-\frac{g}{h}\right)}{3}\right)\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021220 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))