Average Error: 1.0 → 0.0
Time: 5.2s
Precision: binary64
\[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\\ 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos t_0 - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin t_0\right) \end{array} \]
2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\\
2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos t_0 - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin t_0\right)
\end{array}

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))
↓
(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))
   (*
    2.0
    (-
     (* (cos (* PI 0.6666666666666666)) (cos t_0))
     (* (log1p (expm1 (sin (* PI 0.6666666666666666)))) (sin t_0))))))
double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos(-g / h) / 3.0));
}
↓
double code(double g, double h) {
	double t_0 = acos(-g / h) / 3.0;
	return 2.0 * ((cos(((double) M_PI) * 0.6666666666666666) * cos(t_0)) - (log1p(expm1(sin(((double) M_PI) * 0.6666666666666666))) * sin(t_0)));
}

Error

Bits error versus g

Bits error versus h

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

  2. Simplified1.0

    \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  3. Applied fma-udef_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

  4. Applied cos-sum_binary641.0

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) - \sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

  5. Applied log1p-expm1-u_binary640.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) - \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

  6. Final simplification0.0

    \[\leadsto 2 \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right) \cdot \cos \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) - \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(\pi \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \sin \left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021215 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))