Average Error: 37.5 → 0.8
Time: 4.3s
Precision: binary64
\[[x, y, z]=\mathsf{sort}([x, y, z])\]
\[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\\ t_0 \cdot \left(t_0 \cdot \mathsf{hypot}\left(x, z\right)\right) \end{array} \]
\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\\
t_0 \cdot \left(t_0 \cdot \mathsf{hypot}\left(x, z\right)\right)
\end{array}

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (sqrt 0.3333333333333333)))) (* t_0 (* t_0 (hypot x z)))))
double code(double x, double y, double z) {
	return sqrt((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0);
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(sqrt(0.3333333333333333));
	return t_0 * (t_0 * hypot(x, z));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original37.5
Target19.9
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -6.396479394109776 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\frac{-z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{elif}\;z < 7.320293694404182 \cdot 10^{+117}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(z \cdot z + x \cdot x\right) + y \cdot y}}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot z\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 37.5

    \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

  2. Simplified37.5

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{\mathsf{fma}\left(z, z, \mathsf{fma}\left(x, x, y \cdot y\right)\right)}{3}}} \]

  3. Taylor expanded in y around 0 37.8

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{z}^{2} + {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]

  4. Simplified0.9

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(x, z\right)} \]

  5. Applied add-sqr-sqrt_binary641.2

    \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)}\right)} \]

  6. Applied add-sqr-sqrt_binary641.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)}\right) \]

  7. Applied unswap-sqr_binary641.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)}\right)} \]

  8. Applied swap-sqr_binary641.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right) \cdot \left(\sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)}\right)} \]

  9. Applied associate-*l*_binary641.1

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{hypot}\left(x, z\right)}\right)\right)} \]

  10. Simplified0.8

    \[\leadsto \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{hypot}\left(x, z\right) \cdot \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}}\right)} \]

  11. Final simplification0.8

    \[\leadsto \sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{0.3333333333333333}} \cdot \mathsf{hypot}\left(x, z\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021215 
(FPCore (x y z)
  :name "Data.Array.Repa.Algorithms.Pixel:doubleRmsOfRGB8 from repa-algorithms-3.4.0.1"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -6.396479394109776e+136) (/ (- z) (sqrt 3.0)) (if (< z 7.320293694404182e+117) (/ (sqrt (+ (+ (* z z) (* x x)) (* y y))) (sqrt 3.0)) (* (sqrt 0.3333333333333333) z)))

  (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))