Average Error: 6.1 → 0.7
Time: 7.8s
Precision: binary64
\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]
↓
\[\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) \]
\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x}
↓
\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right)

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467)
  (/
   (+
    (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z)
    0.083333333333333)
   x)))
↓
(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  (fma (- x 0.5) (log x) (- 0.91893853320467 x))
  (+ (* (* z (/ z x)) (+ 0.0007936500793651 y)) (/ 0.083333333333333 x))))
double code(double x, double y, double z) {
	return ((((x - 0.5) * log(x)) - x) + 0.91893853320467) + ((((((y + 0.0007936500793651) * z) - 0.0027777777777778) * z) + 0.083333333333333) / x);
}
↓
double code(double x, double y, double z) {
	return fma((x - 0.5), log(x), (0.91893853320467 - x)) + (((z * (z / x)) * (0.0007936500793651 + y)) + (0.083333333333333 / x));
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original6.1
Target1.2
Herbie0.7
\[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) + \frac{z}{x} \cdot \left(z \cdot \left(y + 0.0007936500793651\right) - 0.0027777777777778\right) \]

Derivation

  1. Initial program 6.1

    \[\left(\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x - x\right) + 0.91893853320467\right) + \frac{\left(\left(y + 0.0007936500793651\right) \cdot z - 0.0027777777777778\right) \cdot z + 0.083333333333333}{x} \]

  2. Simplified6.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467\right) - x\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}{x}} \]

  3. Applied fma-udef_binary646.1

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + 0.91893853320467\right)} - x\right) + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}{x} \]

  4. Applied associate--l+_binary646.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x - 0.5\right) \cdot \log x + \left(0.91893853320467 - x\right)\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}{x} \]

  5. Applied fma-def_binary646.1

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right)} + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}{x} \]

  6. Applied clear-num_binary646.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \color{blue}{\frac{1}{\frac{x}{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)}}} \]

  7. Applied associate-/r/_binary646.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \color{blue}{\frac{1}{x} \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right), 0.083333333333333\right)} \]

  8. Applied fma-udef_binary646.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \frac{1}{x} \cdot \color{blue}{\left(z \cdot \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right) + 0.083333333333333\right)} \]

  9. Applied distribute-rgt-in_binary646.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \color{blue}{\left(\left(z \cdot \mathsf{fma}\left(y + 0.0007936500793651, z, -0.0027777777777778\right)\right) \cdot \frac{1}{x} + 0.083333333333333 \cdot \frac{1}{x}\right)} \]

  10. Simplified1.2

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\color{blue}{\frac{z}{x} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0007936500793651 + y, z, -0.0027777777777778\right)} + 0.083333333333333 \cdot \frac{1}{x}\right) \]

  11. Simplified1.1

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\frac{z}{x} \cdot \mathsf{fma}\left(0.0007936500793651 + y, z, -0.0027777777777778\right) + \color{blue}{\frac{0.083333333333333}{x}}\right) \]

  12. Taylor expanded in z around inf 6.6

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\color{blue}{\frac{\left(0.0007936500793651 + y\right) \cdot {z}^{2}}{x}} + \frac{0.083333333333333}{x}\right) \]

  13. Simplified0.7

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\color{blue}{\left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right)} + \frac{0.083333333333333}{x}\right) \]

  14. Final simplification0.7

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x - 0.5, \log x, 0.91893853320467 - x\right) + \left(\left(z \cdot \frac{z}{x}\right) \cdot \left(0.0007936500793651 + y\right) + \frac{0.083333333333333}{x}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021215 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:$slogFactorial from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (+ (+ (+ (* (- x 0.5) (log x)) (- 0.91893853320467 x)) (/ 0.083333333333333 x)) (* (/ z x) (- (* z (+ y 0.0007936500793651)) 0.0027777777777778)))

  (+ (+ (- (* (- x 0.5) (log x)) x) 0.91893853320467) (/ (+ (* (- (* (+ y 0.0007936500793651) z) 0.0027777777777778) z) 0.083333333333333) x)))