Average Error: 58.1 → 0.7
Time: 13.7s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\left(-\cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{7}, 0.0001984126984126984, im\right)\right) - \cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, 0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \]
\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)
↓
\left(-\cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{7}, 0.0001984126984126984, im\right)\right) - \cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, 0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (-
  (- (* (cos re) (fma (pow im 7.0) 0.0001984126984126984 im)))
  (*
   (cos re)
   (fma
    (pow im 5.0)
    0.008333333333333333
    (* (pow im 3.0) 0.16666666666666666)))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * cos(re)) * (exp(0.0 - im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return -(cos(re) * fma(pow(im, 7.0), 0.0001984126984126984, im)) - (cos(re) * fma(pow(im, 5.0), 0.008333333333333333, (pow(im, 3.0) * 0.16666666666666666)));
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original58.1
Target0.2
Herbie0.7
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\cos re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 58.1

    \[\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \left(e^{0 - im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in im around 0 0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.016666666666666666 \cdot {im}^{5} + \left(0.3333333333333333 \cdot {im}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7} + 2 \cdot im\right)\right)\right)\right)} \]

  3. Simplified0.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

  4. Applied neg-mul-1_binary640.7

    \[\leadsto \left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)\right)} \]

  5. Applied associate-*r*_binary640.7

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \cos re\right) \cdot -1\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right)} \]

  6. Simplified0.7

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \cos re\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {im}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {im}^{3}, \mathsf{fma}\left(im, 2, 0.0003968253968253968 \cdot {im}^{7}\right)\right)\right) \]

  7. Taylor expanded in im around 0 0.7

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(0.0001984126984126984 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{7}\right) + \left(\cos re \cdot im + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{3}\right) + 0.008333333333333333 \cdot \left(\cos re \cdot {im}^{5}\right)\right)\right)\right)} \]

  8. Simplified0.7

    \[\leadsto \color{blue}{\left(-\cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{7}, 0.0001984126984126984, im\right)\right) - \cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, 0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

  9. Final simplification0.7

    \[\leadsto \left(-\cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{7}, 0.0001984126984126984, im\right)\right) - \cos re \cdot \mathsf{fma}\left({im}^{5}, 0.008333333333333333, {im}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021215 
(FPCore (re im)
  :name "math.sin on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (cos re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (cos re)) (- (exp (- 0.0 im)) (exp im))))