Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B

Average Error: 20.6 → 0.2

Time: 4.2s

Precision: binary64

Math

\[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.0951716603370986 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(z \leq 8458636247084.303\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x - \frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{-3.350343815022304 - z \cdot \left(z + 6.012459259764103\right)}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (+
  x
  (/
   (*
    y
    (+
     (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z)
     0.279195317918525))
   (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))

↓

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (or (<= z -1.0951716603370986e+24) (not (<= z 8458636247084.303)))
   (fma y 0.0692910599291889 x)
   (-
    x
    (/
     (*
      y
      (fma z (fma 0.0692910599291889 z 0.4917317610505968) 0.279195317918525))
     (- -3.350343815022304 (* z (+ z 6.012459259764103)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return x + ((y * ((((z * 0.0692910599291889) + 0.4917317610505968) * z) + 0.279195317918525)) / (((z + 6.012459259764103) * z) + 3.350343815022304));
}

↓

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if ((z <= -1.0951716603370986e+24) || !(z <= 8458636247084.303)) {
		tmp = fma(y, 0.0692910599291889, x);
	} else {
		tmp = x - ((y * fma(z, fma(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968), 0.279195317918525)) / (-3.350343815022304 - (z * (z + 6.012459259764103))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Target

Original	20.6
Target	0.2
Herbie	0.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -8120153.652456675:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \mathbf{elif}\;z < 6.576118972787377 \cdot 10^{+20}:\\ \;\;\;\;x + \left(y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)\right) \cdot \frac{1}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(\frac{0.07512208616047561}{z} + 0.0692910599291889\right) \cdot y - \left(\frac{0.40462203869992125 \cdot y}{z \cdot z} - x\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if z < -1.0951716603370986e24 or 8458636247084.3027 < z

   1. Initial program 43.1

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Simplified 34.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(z, 0.0692910599291889, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{\mathsf{fma}\left(z, z + 6.012459259764103, 3.350343815022304\right)}, x\right)} \]

   3. Taylor expanded in z around inf 0.0

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, \color{blue}{0.0692910599291889}, x\right) \]

   if -1.0951716603370986e24 < z < 8458636247084.3027

   1. Initial program 0.3

      \[x + \frac{y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304} \]

   2. Applied frac-2neg_binary64 0.3

      \[\leadsto x + \color{blue}{\frac{-y \cdot \left(\left(z \cdot 0.0692910599291889 + 0.4917317610505968\right) \cdot z + 0.279195317918525\right)}{-\left(\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304\right)}} \]

   3. Simplified 0.3

      \[\leadsto x + \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right) \cdot \left(-y\right)}}{-\left(\left(z + 6.012459259764103\right) \cdot z + 3.350343815022304\right)} \]

   4. Simplified 0.3

      \[\leadsto x + \frac{\mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right) \cdot \left(-y\right)}{\color{blue}{-3.350343815022304 - z \cdot \left(z + 6.012459259764103\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 0.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq -1.0951716603370986 \cdot 10^{+24} \lor \neg \left(z \leq 8458636247084.303\right):\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(y, 0.0692910599291889, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x - \frac{y \cdot \mathsf{fma}\left(z, \mathsf{fma}\left(0.0692910599291889, z, 0.4917317610505968\right), 0.279195317918525\right)}{-3.350343815022304 - z \cdot \left(z + 6.012459259764103\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021215 
(FPCore (x y z)
  :name "Numeric.SpecFunctions:logGamma from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -8120153.652456675) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x)) (if (< z 6.576118972787377e+20) (+ x (* (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (/ 1.0 (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304)))) (- (* (+ (/ 0.07512208616047561 z) 0.0692910599291889) y) (- (/ (* 0.40462203869992125 y) (* z z)) x))))

  (+ x (/ (* y (+ (* (+ (* z 0.0692910599291889) 0.4917317610505968) z) 0.279195317918525)) (+ (* (+ z 6.012459259764103) z) 3.350343815022304))))