Average Error: 43.8 → 0.8
Time: 9.1s
Precision: binary64
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]
↓
\[\sin re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right) \]
\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)
↓
\sin re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right)

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (sin re) (- (fma 0.16666666666666666 (pow im 3.0) im))))
double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}
↓
double code(double re, double im) {
	return sin(re) * -fma(0.16666666666666666, pow(im, 3.0), im);
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original43.8
Target0.3
Herbie0.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Initial program 43.8

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded around 0 0.8

    \[\leadsto \color{blue}{-\left(\sin re \cdot im + 0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)\right)} \]

  3. Simplified0.8

    \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) - 0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]
  4. Using strategy rm

  5. Applied pow1_binary640.8

    \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{{\left(\left(-im\right) - 0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}^{1}} \]

  6. Applied pow1_binary640.8

    \[\leadsto \color{blue}{{\sin re}^{1}} \cdot {\left(\left(-im\right) - 0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}^{1} \]

  7. Applied pow-prod-down_binary640.8

    \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sin re \cdot \left(\left(-im\right) - 0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)\right)}^{1}} \]

  8. Applied unpow-prod-down_binary640.8

    \[\leadsto \color{blue}{{\sin re}^{1} \cdot {\left(\left(-im\right) - 0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}^{1}} \]

  9. Simplified0.8

    \[\leadsto \color{blue}{\sin re} \cdot {\left(\left(-im\right) - 0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}^{1} \]

  10. Simplified0.8

    \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right)} \]

  11. Final simplification0.8

    \[\leadsto \sin re \cdot \left(-\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {im}^{3}, im\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021211 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))