Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3

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Precision: binary64

Math

\[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} t_1 := y \cdot \left(x \cdot z\right)\\ t_2 := i \cdot \left(y \cdot j\right)\\ t_3 := y \cdot z - t \cdot a\\ t_4 := \left(x \cdot t_3 - b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\\ \mathbf{if}\;t_4 \leq -1.681948908914084 \cdot 10^{+304}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, t_1 - t_2\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;t_4 \leq 2.147642647940261 \cdot 10^{+305}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, t_3, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t, c, -y \cdot i\right), j, j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(t_1 + c \cdot \left(t \cdot j\right)\right)\right) - \left(t_2 + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (+
  (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a))))
  (* j (- (* c t) (* i y)))))

↓

(FPCore (x y z t a b c i j)
 :precision binary64
 (let* ((t_1 (* y (* x z)))
        (t_2 (* i (* y j)))
        (t_3 (- (* y z) (* t a)))
        (t_4
         (+
          (- (* x t_3) (* b (- (* z c) (* a i))))
          (* j (- (* t c) (* y i))))))
   (if (<= t_4 -1.681948908914084e+304)
     (fma
      i
      (* a b)
      (-
       (fma c (* t j) (- t_1 t_2))
       (fma c (* z b) (* (* (cbrt a) (cbrt a)) (* (cbrt a) (* x t))))))
     (if (<= t_4 2.147642647940261e+305)
       (fma
        b
        (- (* a i) (* z c))
        (fma x t_3 (fma (fma t c (- (* y i))) j (* j (fma (- i) y (* y i))))))
       (-
        (+ (* i (* a b)) (+ t_1 (* c (* t j))))
        (+ t_2 (+ (* c (* z b)) (* a (* x t)))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	return ((x * ((y * z) - (t * a))) - (b * ((c * z) - (i * a)))) + (j * ((c * t) - (i * y)));
}

↓

double code(double x, double y, double z, double t, double a, double b, double c, double i, double j) {
	double t_1 = y * (x * z);
	double t_2 = i * (y * j);
	double t_3 = (y * z) - (t * a);
	double t_4 = ((x * t_3) - (b * ((z * c) - (a * i)))) + (j * ((t * c) - (y * i)));
	double tmp;
	if (t_4 <= -1.681948908914084e+304) {
		tmp = fma(i, (a * b), (fma(c, (t * j), (t_1 - t_2)) - fma(c, (z * b), ((cbrt(a) * cbrt(a)) * (cbrt(a) * (x * t))))));
	} else if (t_4 <= 2.147642647940261e+305) {
		tmp = fma(b, ((a * i) - (z * c)), fma(x, t_3, fma(fma(t, c, -(y * i)), j, (j * fma(-i, y, (y * i))))));
	} else {
		tmp = ((i * (a * b)) + (t_1 + (c * (t * j)))) - (t_2 + ((c * (z * b)) + (a * (x * t))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

Bits error versus a

Bits error versus b

Bits error versus c

Bits error versus i

Bits error versus j

Target

Original	12.1
Target	15.9
Herbie	2.8

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;t < -8.120978919195912 \cdot 10^{-33}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t < -4.712553818218485 \cdot 10^{-169}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{elif}\;t < -7.633533346031584 \cdot 10^{-308}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \mathbf{elif}\;t < 1.0535888557455487 \cdot 10^{-139}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + \frac{j \cdot \left({\left(c \cdot t\right)}^{2} - {\left(i \cdot y\right)}^{2}\right)}{c \cdot t + i \cdot y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(z \cdot y - a \cdot t\right) - \left(b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right) - \left(c \cdot t - y \cdot i\right) \cdot j\right)\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 i a)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c t) (*.f64 i y)))) < -1.6819489089140839e304

   1. Initial program 60.7

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 60.7

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded around 0 12.6

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Simplified 12.6

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-cube-cbrt_binary64 12.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)} \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right) \]

   7. Applied associate-*l*_binary64 12.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(t \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 12.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot t\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)}\right)\right) \]

   9. Taylor expanded around -inf 12.2

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, \color{blue}{y \cdot \left(z \cdot x\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)}\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\left(x \cdot t\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)\right)\right) \]

   if -1.6819489089140839e304 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 i a)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c t) (*.f64 i y)))) < 2.1476426479402612e305

   1. Initial program 0.9

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 0.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]
   3. Using strategy rm

   4. Applied prod-diff_binary64 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(t, c, -i \cdot y\right) + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right)\right)}\right)\right) \]

   5. Applied distribute-rgt-in_binary64 0.9

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(t, c, -i \cdot y\right) \cdot j + \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right) \cdot j}\right)\right) \]

   6. Applied fma-def_binary64 0.8

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t, c, -i \cdot y\right), j, \mathsf{fma}\left(-i, y, i \cdot y\right) \cdot j\right)}\right)\right) \]

   if 2.1476426479402612e305 < (+.f64 (-.f64 (*.f64 x (-.f64 (*.f64 y z) (*.f64 t a))) (*.f64 b (-.f64 (*.f64 c z) (*.f64 i a)))) (*.f64 j (-.f64 (*.f64 c t) (*.f64 i y))))

   1. Initial program 61.8

      \[\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(c \cdot z - i \cdot a\right)\right) + j \cdot \left(c \cdot t - i \cdot y\right) \]

   2. Simplified 61.8

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded around 0 11.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(y \cdot \left(i \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]

   4. Simplified 11.1

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]
   5. Using strategy rm

   6. Applied add-cube-cbrt_binary64 11.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)} \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right) \]

   7. Applied associate-*l*_binary64 11.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \color{blue}{\left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(t \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   8. Simplified 11.3

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(z \cdot x - j \cdot i\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot t\right) \cdot \sqrt[3]{a}\right)}\right)\right) \]

   9. Taylor expanded around -inf 10.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(c \cdot \left(t \cdot j\right) + y \cdot \left(z \cdot x\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(t \cdot x\right)\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 2.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right) \leq -1.681948908914084 \cdot 10^{+304}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(i, a \cdot b, \mathsf{fma}\left(c, t \cdot j, y \cdot \left(x \cdot z\right) - i \cdot \left(y \cdot j\right)\right) - \mathsf{fma}\left(c, z \cdot b, \left(\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{a}\right) \cdot \left(\sqrt[3]{a} \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;\left(x \cdot \left(y \cdot z - t \cdot a\right) - b \cdot \left(z \cdot c - a \cdot i\right)\right) + j \cdot \left(t \cdot c - y \cdot i\right) \leq 2.147642647940261 \cdot 10^{+305}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(b, a \cdot i - z \cdot c, \mathsf{fma}\left(x, y \cdot z - t \cdot a, \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(t, c, -y \cdot i\right), j, j \cdot \mathsf{fma}\left(-i, y, y \cdot i\right)\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(i \cdot \left(a \cdot b\right) + \left(y \cdot \left(x \cdot z\right) + c \cdot \left(t \cdot j\right)\right)\right) - \left(i \cdot \left(y \cdot j\right) + \left(c \cdot \left(z \cdot b\right) + a \cdot \left(x \cdot t\right)\right)\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021211 
(FPCore (x y z t a b c i j)
  :name "Linear.Matrix:det33 from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< t -8.120978919195912e-33) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t -4.712553818218485e-169) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (if (< t -7.633533346031584e-308) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j))) (if (< t 1.0535888557455487e-139) (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (/ (* j (- (pow (* c t) 2.0) (pow (* i y) 2.0))) (+ (* c t) (* i y)))) (- (* x (- (* z y) (* a t))) (- (* b (- (* z c) (* a i))) (* (- (* c t) (* y i)) j)))))))

  (+ (- (* x (- (* y z) (* t a))) (* b (- (* c z) (* i a)))) (* j (- (* c t) (* i y)))))