2nthrt (problem 3.4.6)

Average Error: 32.6 → 11.8

Time: 22.0s

Precision: binary64

Math

\[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{1}{n} \leq 9.529481352318244 \cdot 10^{-89}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right) - \log x}{n}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := {\log x}^{2}\\ \mathbf{if}\;\frac{1}{n} \leq 2.3348023207383205 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_1 := -\log x\\ \frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \frac{t_0}{{n}^{3}}, \frac{1}{n}\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{t_1}^{3}}{{n}^{4}}, \frac{t_1}{n \cdot n}\right)}{x} \end{array}\\ \mathbf{elif}\;\frac{1}{n} \leq 0.13304518774443258:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_2 := \frac{\log x}{n}\\ t_3 := \frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\\ \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{4}}{{n}^{4}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {t_3}^{3}, t_3\right)\right)\right) - \sqrt[3]{{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {t_2}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{t_0}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, t_2\right)\right)\right)\right)}^{3}} \end{array}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\frac{x}{n}} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\\ \end{array}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x n)
 :precision binary64
 (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n))))

↓

(FPCore (x n)
 :precision binary64
 (if (<= (/ 1.0 n) 9.529481352318244e-89)
   (/ (- (log1p x) (log x)) n)
   (let* ((t_0 (pow (log x) 2.0)))
     (if (<= (/ 1.0 n) 2.3348023207383205e-65)
       (let* ((t_1 (- (log x))))
         (/
          (-
           (fma 0.5 (/ t_0 (pow n 3.0)) (/ 1.0 n))
           (fma
            0.16666666666666666
            (/ (pow t_1 3.0) (pow n 4.0))
            (/ t_1 (* n n))))
          x))
       (if (<= (/ 1.0 n) 0.13304518774443258)
         (let* ((t_2 (/ (log x) n)) (t_3 (/ (log1p x) n)))
           (-
            (fma
             0.5
             (/ (pow (log1p x) 2.0) (* n n))
             (fma
              0.041666666666666664
              (/ (pow (log1p x) 4.0) (pow n 4.0))
              (fma 0.16666666666666666 (pow t_3 3.0) t_3)))
            (cbrt
             (pow
              (fma
               0.16666666666666666
               (pow t_2 3.0)
               (fma
                0.5
                (/ t_0 (* n n))
                (fma
                 0.041666666666666664
                 (/ (pow (log x) 4.0) (pow n 4.0))
                 t_2)))
              3.0))))
         (- (exp (/ x n)) (pow x (/ 1.0 n))))))))

C

double code(double x, double n) {
	return pow((x + 1.0), (1.0 / n)) - pow(x, (1.0 / n));
}

↓

double code(double x, double n) {
	double tmp;
	if ((1.0 / n) <= 9.529481352318244e-89) {
		tmp = (log1p(x) - log(x)) / n;
	} else {
		double t_0 = pow(log(x), 2.0);
		double tmp_1;
		if ((1.0 / n) <= 2.3348023207383205e-65) {
			double t_1_2 = -log(x);
			tmp_1 = (fma(0.5, (t_0 / pow(n, 3.0)), (1.0 / n)) - fma(0.16666666666666666, (pow(t_1_2, 3.0) / pow(n, 4.0)), (t_1_2 / (n * n)))) / x;
		} else if ((1.0 / n) <= 0.13304518774443258) {
			double t_2 = log(x) / n;
			double t_3 = log1p(x) / n;
			tmp_1 = fma(0.5, (pow(log1p(x), 2.0) / (n * n)), fma(0.041666666666666664, (pow(log1p(x), 4.0) / pow(n, 4.0)), fma(0.16666666666666666, pow(t_3, 3.0), t_3))) - cbrt(pow(fma(0.16666666666666666, pow(t_2, 3.0), fma(0.5, (t_0 / (n * n)), fma(0.041666666666666664, (pow(log(x), 4.0) / pow(n, 4.0)), t_2))), 3.0));
		} else {
			tmp_1 = exp(x / n) - pow(x, (1.0 / n));
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus n

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if (/.f64 1 n) < 9.5294813523182441e-89

   1. Initial program 33.4

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \]

   2. Taylor expanded around -inf 11.0

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \frac{\log x - \log \left(1 + x\right)}{n}} \]

   3. Simplified 11.0

      \[\leadsto \color{blue}{-\frac{\log x - \mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}} \]

   if 9.5294813523182441e-89 < (/.f64 1 n) < 2.33480232073832053e-65

   1. Initial program 54.3

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \]

   2. Taylor expanded around inf 23.2

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{4}}{{n}^{4}} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{3}}{{n}^{3}} + \frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log x}^{3}}{{n}^{3}} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}} + \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)} \]

   3. Simplified 23.2

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{4}}{{n}^{4}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)}^{3}, \frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)} \]

   4. Taylor expanded around inf 30.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{n} + 0.5 \cdot \frac{{\log \left(\frac{1}{x}\right)}^{2}}{{n}^{3}}\right) - \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log \left(\frac{1}{x}\right)}^{3}}{{n}^{4}} + \frac{\log \left(\frac{1}{x}\right)}{{n}^{2}}\right)}{x}} \]

   5. Simplified 30.7

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{3}}, \frac{1}{n}\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\left(-\log x\right)}^{3}}{{n}^{4}}, \frac{-\log x}{n \cdot n}\right)}{x}} \]

   if 2.33480232073832053e-65 < (/.f64 1 n) < 0.13304518774443258

   1. Initial program 54.0

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \]

   2. Taylor expanded around inf 27.9

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{4}}{{n}^{4}} + \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log \left(1 + x\right)}^{3}}{{n}^{3}} + \frac{\log \left(1 + x\right)}{n}\right)\right)\right) - \left(0.16666666666666666 \cdot \frac{{\log x}^{3}}{{n}^{3}} + \left(0.5 \cdot \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{2}} + \left(0.041666666666666664 \cdot \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}} + \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)} \]

   3. Simplified 27.9

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{4}}{{n}^{4}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)}^{3}, \frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)\right)\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)} \]
   4. Using strategy rm

   5. Applied add-cbrt-cube_binary64 29.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{4}}{{n}^{4}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)}^{3}, \frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)\right)\right) - \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)\right) \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)}} \]

   6. Simplified 29.4

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{4}}{{n}^{4}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)}^{3}, \frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)\right)\right) - \sqrt[3]{\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)\right)}^{3}}} \]

   if 0.13304518774443258 < (/.f64 1 n)

   1. Initial program 4.1

      \[{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{1}{n}\right)} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \]

   2. Taylor expanded around 0 4.1

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{\log \left(1 + x\right)}{n}} - e^{\frac{\log x}{n}}} \]

   3. Simplified 0.5

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}} \]

   4. Taylor expanded around 0 0.6

      \[\leadsto e^{\color{blue}{\frac{x}{n}}} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 11.8

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{1}{n} \leq 9.529481352318244 \cdot 10^{-89}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right) - \log x}{n}\\ \mathbf{elif}\;\frac{1}{n} \leq 2.3348023207383205 \cdot 10^{-65}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{{n}^{3}}, \frac{1}{n}\right) - \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \frac{{\left(-\log x\right)}^{3}}{{n}^{4}}, \frac{-\log x}{n \cdot n}\right)}{x}\\ \mathbf{elif}\;\frac{1}{n} \leq 0.13304518774443258:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)}^{4}}{{n}^{4}}, \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)}^{3}, \frac{\mathsf{log1p}\left(x\right)}{n}\right)\right)\right) - \sqrt[3]{{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {\left(\frac{\log x}{n}\right)}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.5, \frac{{\log x}^{2}}{n \cdot n}, \mathsf{fma}\left(0.041666666666666664, \frac{{\log x}^{4}}{{n}^{4}}, \frac{\log x}{n}\right)\right)\right)\right)}^{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{\frac{x}{n}} - {x}^{\left(\frac{1}{n}\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021210 
(FPCore (x n)
  :name "2nthrt (problem 3.4.6)"
  :precision binary64
  (- (pow (+ x 1.0) (/ 1.0 n)) (pow x (/ 1.0 n))))