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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -7.202903839708791 \cdot 10^{+126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.7129649888112956 \cdot 10^{-283}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.0165515961308099 \cdot 10^{-218}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - \left(im + 0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.269431306839334 \cdot 10^{+131}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array} \]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -7.202903839708791 \cdot 10^{+126}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.7129649888112956 \cdot 10^{-283}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.0165515961308099 \cdot 10^{-218}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - \left(im + 0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im}\right)\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 5.269431306839334 \cdot 10^{+131}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\


\end{array}

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -7.202903839708791e+126)
   (* 0.5 (/ (* (sqrt 2.0) (fabs im)) (sqrt (- (- re) re))))
   (if (<= re -3.7129649888112956e-283)
     (*
      0.5
      (/
       (* (sqrt (sqrt 2.0)) (* (fabs im) (sqrt (sqrt 2.0))))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re 1.0165515961308099e-218)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re (+ im (* 0.5 (/ (pow re 2.0) im)))))))
       (if (<= re 5.269431306839334e+131)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re)))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -7.202903839708791e+126) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) * fabs(im)) / sqrt(-re - re));
	} else if (re <= -3.7129649888112956e-283) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(sqrt(2.0)) * (fabs(im) * sqrt(sqrt(2.0)))) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 1.0165515961308099e-218) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - (im + (0.5 * (pow(re, 2.0) / im)))));
	} else if (re <= 5.269431306839334e+131) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.6
Target33.9
Herbie17.8
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -7.20290383970879145e126

    1. Initial program 62.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_209862.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

    4. Applied associate-*r/_binary64_206662.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

    5. Applied sqrt-div_binary64_214162.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

    6. Simplified47.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_214047.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

    9. Simplified45.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

    10. Taylor expanded around -inf 9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}} \]

    11. Simplified9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left(-re\right)} - re}} \]

    if -7.20290383970879145e126 < re < -3.71296498881129564e-283

    1. Initial program 40.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_209840.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

    4. Applied associate-*r/_binary64_206640.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

    5. Applied sqrt-div_binary64_214140.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

    6. Simplified30.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_214031.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

    9. Simplified20.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
    10. Using strategy rm

    11. Applied add-sqr-sqrt_binary64_214620.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

    12. Applied associate-*l*_binary64_206520.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left|im\right|\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

    if -3.71296498881129564e-283 < re < 1.0165515961308099e-218

    1. Initial program 32.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    2. Taylor expanded around -inf 33.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-\left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)\right)} + re\right)} \]

    if 1.0165515961308099e-218 < re < 5.26943130683933404e131

    1. Initial program 17.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    if 5.26943130683933404e131 < re

    1. Initial program 57.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    2. Taylor expanded around inf 8.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)} \]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification17.8

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -7.202903839708791 \cdot 10^{+126}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.7129649888112956 \cdot 10^{-283}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}} \cdot \left(\left|im\right| \cdot \sqrt{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.0165515961308099 \cdot 10^{-218}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - \left(im + 0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.269431306839334 \cdot 10^{+131}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021210 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))