Average Error: 58.6 → 0.4
Time: 3.8s
Precision: binary64
\[-0.00017 < x\]
\[e^{x} - 1 \]
↓
\[x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]
e^{x} - 1
↓
x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)

(FPCore (x) :precision binary64 (- (exp x) 1.0))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  x
  (+
   (* 0.041666666666666664 (pow x 4.0))
   (* (* x x) (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666))))))
double code(double x) {
	return exp(x) - 1.0;
}
↓
double code(double x) {
	return x + ((0.041666666666666664 * pow(x, 4.0)) + ((x * x) * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))));
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original58.6
Target0.5
Herbie0.4
\[x \cdot \left(\left(1 + \frac{x}{2}\right) + \frac{x \cdot x}{6}\right) \]

Derivation

  1. Initial program 58.6

    \[e^{x} - 1 \]

  2. Taylor expanded around 0 0.4

    \[\leadsto \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + x\right)\right)} \]

  3. Simplified0.4

    \[\leadsto \color{blue}{x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

  4. Final simplification0.4

    \[\leadsto x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021210 
(FPCore (x)
  :name "expm1 (example 3.7)"
  :precision binary64
  :pre (< -0.00017 x)

  :herbie-target
  (* x (+ (+ 1.0 (/ x 2.0)) (/ (* x x) 6.0)))

  (- (exp x) 1.0))