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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.0810855285811026 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1023411135196444 \cdot 10^{-294}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{if}\;im \leq 6.386439438427647 \cdot 10^{-106}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.645579323198895 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.649882945586574 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\\ \end{array} \]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -4.0810855285811026 \cdot 10^{-82}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.1023411135196444 \cdot 10^{-294}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\begin{array}{l}
t_0 := 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\
\mathbf{if}\;im \leq 6.386439438427647 \cdot 10^{-106}:\\
\;\;\;\;t_0\\

\mathbf{elif}\;im \leq 9.645579323198895 \cdot 10^{-68}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.649882945586574 \cdot 10^{+32}:\\
\;\;\;\;t_0\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\


\end{array}\\


\end{array}

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -4.0810855285811026e-82)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im 1.1023411135196444e-294)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (+ re (* 0.5 (/ (* im im) re)))))))
     (let* ((t_0
             (*
              0.5
              (sqrt
               (* 2.0 (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re)))))))
       (if (<= im 6.386439438427647e-106)
         t_0
         (if (<= im 9.645579323198895e-68)
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* 2.0 re))))
           (if (<= im 1.649882945586574e+32)
             t_0
             (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -4.0810855285811026e-82) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= 1.1023411135196444e-294) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (re + (0.5 * ((im * im) / re)))));
	} else {
		double t_0 = 0.5 * sqrt(2.0 * ((im * im) / (sqrt((im * im) + (re * re)) - re)));
		double tmp_1;
		if (im <= 6.386439438427647e-106) {
			tmp_1 = t_0;
		} else if (im <= 9.645579323198895e-68) {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (2.0 * re));
		} else if (im <= 1.649882945586574e+32) {
			tmp_1 = t_0;
		} else {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original39.5
Target34.2
Herbie27.5
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array} \]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -4.0810855285811026e-82

    1. Initial program 39.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    2. Taylor expanded around -inf 19.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)} \]

    3. Simplified19.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + re\right)} \]

    if -4.0810855285811026e-82 < im < 1.1023411135196444e-294

    1. Initial program 39.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    2. Taylor expanded around inf 37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(re + 0.5 \cdot \frac{{im}^{2}}{re}\right)} + re\right)} \]

    3. Simplified37.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)} + re\right)} \]

    if 1.1023411135196444e-294 < im < 6.38643943842764742e-106 or 9.6455793231988952e-68 < im < 1.649882945586574e32

    1. Initial program 35.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cube-cbrt_binary6436.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)} \]

    4. Applied sqrt-prod_binary6436.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)} \]

    5. Simplified36.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right|} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} + re\right)} \]
    6. Using strategy rm

    7. Applied flip-+_binary6448.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right) \cdot \left(\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}}\right) - re \cdot re}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re}}} \]

    8. Simplified41.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\left|\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{re \cdot re + im \cdot im}} - re}} \]

    9. Simplified41.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}} \]

    if 6.38643943842764742e-106 < im < 9.6455793231988952e-68

    1. Initial program 27.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    2. Taylor expanded around inf 41.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot re\right)}} \]

    3. Simplified41.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re \cdot 2\right)}} \]

    if 1.649882945586574e32 < im

    1. Initial program 45.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

    2. Taylor expanded around 0 13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)} \]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification27.5

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.0810855285811026 \cdot 10^{-82}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1023411135196444 \cdot 10^{-294}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(re + 0.5 \cdot \frac{im \cdot im}{re}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.386439438427647 \cdot 10^{-106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 9.645579323198895 \cdot 10^{-68}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(2 \cdot re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.649882945586574 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021206 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))