Average Error: 13.6 → 2.0
Time: 32.1s
Precision: binary32
\[cosTheta_i > 0.9999 \land cosTheta_i \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\]
\[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := 0.25 \cdot {u1}^{4}\\ t_1 := t_0 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \frac{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {t_1}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(t_0 + 0.3333333333333333 \cdot {u1}^{5}\right)}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + t_1 \cdot \left(t_1 - u1\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - t_1}}} \end{array} \]
\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := 0.25 \cdot {u1}^{4}\\
t_1 := t_0 + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\\
\frac{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {t_1}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(t_0 + 0.3333333333333333 \cdot {u1}^{5}\right)}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + t_1 \cdot \left(t_1 - u1\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - t_1}}}
\end{array}

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))
↓
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* 0.25 (pow u1 4.0)))
        (t_1 (+ t_0 (* (* u1 u1) (+ 0.5 (* u1 0.3333333333333333))))))
   (/
    (*
     (* (sin (* 2.0 (* u2 PI))) (fabs (cbrt (+ (pow u1 3.0) (pow t_1 3.0)))))
     (sqrt (cbrt (- (* u1 u1) (+ t_0 (* 0.3333333333333333 (pow u1 5.0)))))))
    (*
     (fabs (cbrt (+ (* u1 u1) (* t_1 (- t_1 u1)))))
     (sqrt (cbrt (- u1 t_1)))))))
float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf(1.0f - u1)) * sinf((2.0f * ((float) M_PI)) * u2);
}
↓
float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float t_0 = 0.25f * powf(u1, 4.0f);
	float t_1 = t_0 + ((u1 * u1) * (0.5f + (u1 * 0.3333333333333333f)));
	return ((sinf(2.0f * (u2 * ((float) M_PI))) * fabsf(cbrtf(powf(u1, 3.0f) + powf(t_1, 3.0f)))) * sqrtf(cbrtf((u1 * u1) - (t_0 + (0.3333333333333333f * powf(u1, 5.0f)))))) / (fabsf(cbrtf((u1 * u1) + (t_1 * (t_1 - u1)))) * sqrtf(cbrtf(u1 - t_1)));
}

Error

Bits error versus cosTheta_i

Bits error versus u1

Bits error versus u2

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Derivation

  1. Initial program 13.6

    \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

  2. Taylor expanded in u1 around 0 2.0

    \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-\left(0.3333333333333333 \cdot {u1}^{3} + \left(0.5 \cdot {u1}^{2} + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + u1\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

  3. Simplified2.0

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sqrt{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-cube-cbrt_binary322.1

    \[\leadsto \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  6. Applied sqrt-prod_binary322.2

    \[\leadsto \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} \]

  7. Applied associate-*r*_binary322.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  8. Simplified2.2

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right|\right)} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \]
  9. Using strategy rm

  10. Applied flip-+_binary322.2

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}} \]

  11. Applied cbrt-div_binary322.1

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right|\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}} \]

  12. Applied sqrt-div_binary322.2

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}\right|\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}} \]

  13. Applied flip3-+_binary322.2

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{\color{blue}{\frac{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}{u1 \cdot u1 + \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1 \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}}}\right|\right) \cdot \frac{\sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  14. Applied cbrt-div_binary322.2

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}}{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1 \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}}}\right|\right) \cdot \frac{\sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  15. Applied fabs-div_binary322.2

    \[\leadsto \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \color{blue}{\frac{\left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}\right|}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1 \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}\right|}}\right) \cdot \frac{\sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  16. Applied associate-*r/_binary322.2

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}\right|}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1 \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}\right|}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}{\sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  17. Applied frac-times_binary322.2

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1 \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}} \]

  18. Simplified2.2

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1 \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

  19. Simplified2.2

    \[\leadsto \frac{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right) \cdot \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}}}{\color{blue}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right) \cdot \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right) - u1\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}}}} \]

  20. Taylor expanded in u1 around 0 2.0

    \[\leadsto \frac{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {u1}^{5} + 0.25 \cdot {u1}^{4}\right)}}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right) \cdot \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right) - u1\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + 0.3333333333333333 \cdot u1\right)\right)}}} \]

  21. Simplified2.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {u1}^{5}\right)}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}}} \]

  22. Final simplification2.0

    \[\leadsto \frac{\left(\sin \left(2 \cdot \left(u2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left|\sqrt[3]{{u1}^{3} + {\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3}}\right|\right) \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 \cdot u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + 0.3333333333333333 \cdot {u1}^{5}\right)}}}{\left|\sqrt[3]{u1 \cdot u1 + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - u1\right)}\right| \cdot \sqrt{\sqrt[3]{u1 - \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(0.5 + u1 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021206 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0) (<= 2.328306437e-10 u1 1.0) (<= 2.328306437e-10 u2 1.0))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))