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Precision: binary32
\[2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1 \land 0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\]
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]
↓
\[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \log \left(e^{ux \cdot maxCos + \left(1 - ux\right)} \cdot e\right)} \]
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \log \left(e^{ux \cdot maxCos + \left(1 - ux\right)} \cdot e\right)}

(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sin (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (* (- ux (* ux maxCos)) (log (* (exp (+ (* ux maxCos) (- 1.0 ux))) E))))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sinf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf((ux - (ux * maxCos)) * logf(expf((ux * maxCos) + (1.0f - ux)) * ((float) M_E)));
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

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Derivation

  1. Initial program 13.7

    \[\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)} \]

  2. Simplified0.5

    \[\leadsto \color{blue}{\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + 1\right)}} \]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-log-exp_binary320.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + \color{blue}{\log \left(e^{1}\right)}\right)} \]

  5. Applied add-log-exp_binary320.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\color{blue}{\log \left(e^{\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos}\right)} + \log \left(e^{1}\right)\right)} \]

  6. Applied sum-log_binary320.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos} \cdot e^{1}\right)}} \]

  7. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \log \left(e^{ux \cdot maxCos + \left(1 - ux\right)} \cdot e\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021206 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, y"
  :precision binary32
  :pre (and (<= 2.328306437e-10 ux 1.0) (<= 2.328306437e-10 uy 1.0) (<= 0.0 maxCos 1.0))
  (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))