Average Error: 29.6 → 8.6
Time: 2.6s
Precision: binary64
\[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.9915729690158178:\\ \;\;\;\;\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\right) + 0.06172839506172839 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.24647122882296646:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + t_0 \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)} \end{array}\\ \end{array} \]
\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;x \leq -0.9915729690158178:\\
\;\;\;\;\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\right) + 0.06172839506172839 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}\\

\mathbf{elif}\;x \leq 0.24647122882296646:\\
\;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\
\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + t_0 \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)}
\end{array}\\


\end{array}

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -0.9915729690158178)
   (+
    (-
     (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
     (* 0.1111111111111111 (cbrt (/ 1.0 (pow x 5.0)))))
    (* 0.06172839506172839 (cbrt (/ 1.0 (pow x 8.0)))))
   (if (<= x 0.24647122882296646)
     (- (pow (+ x 1.0) 0.3333333333333333) (cbrt x))
     (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
       (/ 1.0 (+ (pow x 0.6666666666666666) (* t_0 (+ (cbrt x) t_0))))))))
double code(double x) {
	return cbrt(x + 1.0) - cbrt(x);
}
↓
double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -0.9915729690158178) {
		tmp = ((0.3333333333333333 * cbrt(1.0 / (x * x))) - (0.1111111111111111 * cbrt(1.0 / pow(x, 5.0)))) + (0.06172839506172839 * cbrt(1.0 / pow(x, 8.0)));
	} else if (x <= 0.24647122882296646) {
		tmp = pow((x + 1.0), 0.3333333333333333) - cbrt(x);
	} else {
		double t_0 = cbrt(x + 1.0);
		tmp = 1.0 / (pow(x, 0.6666666666666666) + (t_0 * (cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 3 regimes

  2. if x < -0.991572969015817818

    1. Initial program 59.5

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

    2. Taylor expanded around inf 44.4

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333} + 0.06172839506172839 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{8}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) - 0.1111111111111111 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{5}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]

    3. Simplified31.1

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\right) + 0.06172839506172839 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}} \]

    if -0.991572969015817818 < x < 0.2464712288229665

    1. Initial program 0.0

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cbrt-cube_binary640.0

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1}\right) \cdot \sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

    4. Simplified0.0

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} - \sqrt[3]{x} \]
    5. Using strategy rm

    6. Applied pow1/3_binary640.0

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

    if 0.2464712288229665 < x

    1. Initial program 59.6

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip3--_binary6459.4

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

    4. Simplified1.0

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

    5. Simplified4.5

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{1 + x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification8.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -0.9915729690158178:\\ \;\;\;\;\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}} - 0.1111111111111111 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{5}}}\right) + 0.06172839506172839 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{8}}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 0.24647122882296646:\\ \;\;\;\;{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{x}^{0.6666666666666666} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021204 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))