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Precision: binary32
\[cosTheta_i > 0.9999 \land cosTheta_i \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u1 \land u1 \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq u2 \land u2 \leq 1\]
\[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9602862596511841:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\ t_1 := \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}\\ \sqrt[3]{\left(t_1 \cdot \left(t_1 \cdot t_1\right)\right) \cdot \left(t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)\right)} \end{array}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - {u1}^{4} \cdot -0.25} \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]
\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9602862596511841:\\
\;\;\;\;\begin{array}{l}
t_0 := \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\\
t_1 := \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}\\
\sqrt[3]{\left(t_1 \cdot \left(t_1 \cdot t_1\right)\right) \cdot \left(t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)\right)}
\end{array}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;\sqrt{\left(u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - {u1}^{4} \cdot -0.25} \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)}\right)\\


\end{array}

(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))
↓
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
 :precision binary32
 (if (<= (- 1.0 u1) 0.9602862596511841)
   (let* ((t_0 (sin (* (* 2.0 PI) u2))) (t_1 (sqrt (- (log (- 1.0 u1))))))
     (cbrt (* (* t_1 (* t_1 t_1)) (* t_0 (* t_0 t_0)))))
   (*
    (sqrt
     (-
      (- u1 (* (* u1 u1) (+ -0.5 (* u1 -0.3333333333333333))))
      (* (pow u1 4.0) -0.25)))
    (sin
     (cbrt (* (* (* 2.0 PI) (* (* 2.0 PI) (* 2.0 PI))) (* u2 (* u2 u2))))))))
float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	return sqrtf(-logf(1.0f - u1)) * sinf((2.0f * ((float) M_PI)) * u2);
}
↓
float code(float cosTheta_i, float u1, float u2) {
	float tmp;
	if ((1.0f - u1) <= 0.9602862596511841f) {
		float t_0_1 = sinf((2.0f * ((float) M_PI)) * u2);
		float t_1_2 = sqrtf(-logf(1.0f - u1));
		tmp = cbrtf((t_1_2 * (t_1_2 * t_1_2)) * (t_0_1 * (t_0_1 * t_0_1)));
	} else {
		tmp = sqrtf((u1 - ((u1 * u1) * (-0.5f + (u1 * -0.3333333333333333f)))) - (powf(u1, 4.0f) * -0.25f)) * sinf(cbrtf(((2.0f * ((float) M_PI)) * ((2.0f * ((float) M_PI)) * (2.0f * ((float) M_PI)))) * (u2 * (u2 * u2))));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus cosTheta_i

Bits error versus u1

Bits error versus u2

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 2 regimes

  2. if (-.f32 1 u1) < 0.96028626

    1. Initial program 0.8

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-cbrt-cube_binary320.8

      \[\leadsto \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)}} \]

    4. Applied add-cbrt-cube_binary320.8

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}\right) \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}}} \cdot \sqrt[3]{\left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)} \]

    5. Applied cbrt-unprod_binary320.9

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}\right) \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}\right) \cdot \left(\left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right)}} \]

    if 0.96028626 < (-.f32 1 u1)

    1. Initial program 16.0

      \[\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    2. Taylor expanded around 0 0.5

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(-\left(0.3333333333333333 \cdot {u1}^{3} + \left(0.5 \cdot {u1}^{2} + \left(0.25 \cdot {u1}^{4} + u1\right)\right)\right)\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]

    3. Simplified0.5

      \[\leadsto \sqrt{-\color{blue}{\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right) - u1\right) + {u1}^{4} \cdot -0.25\right)}} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \]
    4. Using strategy rm

    5. Applied add-cbrt-cube_binary320.5

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right) - u1\right) + {u1}^{4} \cdot -0.25\right)} \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\left(u2 \cdot u2\right) \cdot u2}}\right) \]

    6. Applied add-cbrt-cube_binary320.5

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right) - u1\right) + {u1}^{4} \cdot -0.25\right)} \cdot \sin \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}} \cdot \sqrt[3]{\left(u2 \cdot u2\right) \cdot u2}\right) \]

    7. Applied cbrt-unprod_binary320.5

      \[\leadsto \sqrt{-\left(\left(\left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right) - u1\right) + {u1}^{4} \cdot -0.25\right)} \cdot \sin \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\left(\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\left(u2 \cdot u2\right) \cdot u2\right)}\right)} \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification0.6

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;1 - u1 \leq 0.9602862596511841:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\left(\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \left(\sqrt{-\log \left(1 - u1\right)} \cdot \sqrt{-\log \left(1 - u1\right)}\right)\right) \cdot \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \left(\sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) \cdot \sin \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right)\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(u1 - \left(u1 \cdot u1\right) \cdot \left(-0.5 + u1 \cdot -0.3333333333333333\right)\right) - {u1}^{4} \cdot -0.25} \cdot \sin \left(\sqrt[3]{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right) \cdot \left(u2 \cdot \left(u2 \cdot u2\right)\right)}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021204 
(FPCore (cosTheta_i u1 u2)
  :name "Beckmann Sample, near normal, slope_y"
  :precision binary32
  :pre (and (> cosTheta_i 0.9999) (<= cosTheta_i 1.0) (<= 2.328306437e-10 u1 1.0) (<= 2.328306437e-10 u2 1.0))
  (* (sqrt (- (log (- 1.0 u1)))) (sin (* (* 2.0 PI) u2))))