math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -5.541738335196269 \cdot 10^{+142}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{re \cdot -2}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\\ \mathbf{if}\;re \leq -1.2662953255596096 \cdot 10^{-124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{t_0 - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.3257616803601 \cdot 10^{-235}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\left(-re\right) - im}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.856357253236775 \cdot 10^{-181}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.398879661315353 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - \left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.110855543795228 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + t_0\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -5.541738335196269e+142)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* im (/ im (* re -2.0))))))
   (let* ((t_0 (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))
     (if (<= re -1.2662953255596096e-124)
       (* 0.5 (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (- t_0 re))))
       (if (<= re 3.3257616803601e-235)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* im (/ im (- (- re) im))))))
         (if (<= re 2.856357253236775e-181)
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re im))))
           (if (<= re 3.398879661315353e-149)
             (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re (+ im (* 0.5 (/ (* re re) im)))))))
             (if (<= re 5.110855543795228e+86)
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re t_0))))
               (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -5.541738335196269e+142) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im * (im / (re * -2.0))));
	} else {
		double t_0 = sqrt((im * im) + (re * re));
		double tmp_1;
		if (re <= -1.2662953255596096e-124) {
			tmp_1 = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(t_0 - re));
		} else if (re <= 3.3257616803601e-235) {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (im * (im / (-re - im))));
		} else if (re <= 2.856357253236775e-181) {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + im));
		} else if (re <= 3.398879661315353e-149) {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - (im + (0.5 * ((re * re) / im)))));
		} else if (re <= 5.110855543795228e+86) {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + t_0));
		} else {
			tmp_1 = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	39.2
Target	34.0
Herbie	24.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 7 regimes

2. if re < -5.54173833519626875e142

   1. Initial program 63.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 63.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Simplified 48.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity_binary64 48.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}} \]

   7. Applied times-frac_binary64 48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}} \]

   8. Simplified 48.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)} \]

   9. Taylor expanded around -inf 24.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{-2 \cdot re}}\right)} \]

   10. Simplified 24.3

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{re \cdot -2}}\right)} \]

   if -5.54173833519626875e142 < re < -1.2662953255596096e-124

   1. Initial program 45.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 45.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Simplified 30.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
   5. Using strategy rm

   6. Applied associate-*r/_binary64 30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   7. Applied sqrt-div_binary64 28.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   if -1.2662953255596096e-124 < re < 3.32576168036010002e-235

   1. Initial program 30.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Simplified 30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity_binary64 30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}} \]

   7. Applied times-frac_binary64 28.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}} \]

   8. Simplified 28.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)} \]

   9. Taylor expanded around -inf 34.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{-\left(re + im\right)}}\right)} \]

   10. Simplified 34.2

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{\left(-re\right) - im}}\right)} \]

   if 3.32576168036010002e-235 < re < 2.85635725323677504e-181

   1. Initial program 27.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Simplified 29.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   5. Taylor expanded around inf 35.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re + im\right)}} \]

   if 2.85635725323677504e-181 < re < 3.3988796613153531e-149

   1. Initial program 29.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Simplified 35.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   5. Taylor expanded around -inf 38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re - \left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)\right)}} \]

   6. Simplified 38.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(re - \left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)\right)}} \]

   if 3.3988796613153531e-149 < re < 5.1108555437952284e86

   1. Initial program 17.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied *-un-lft-identity_binary64 17.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + \color{blue}{1 \cdot re}\right)} \]

   4. Applied *-un-lft-identity_binary64 17.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{1 \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} + 1 \cdot re\right)} \]

   5. Applied distribute-lft-out_binary64 17.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)\right)}} \]

   6. Simplified 17.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot \color{blue}{\left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\right)} \]

   if 5.1108555437952284e86 < re

   1. Initial program 50.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 63.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Simplified 62.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   5. Taylor expanded around 0 11.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt{2}\right)}^{2} \cdot \sqrt{re}\right)} \]

   6. Simplified 10.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)} \]
3. Recombined 7 regimes into one program.

4. Final simplification 24.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -5.541738335196269 \cdot 10^{+142}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{re \cdot -2}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.2662953255596096 \cdot 10^{-124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.3257616803601 \cdot 10^{-235}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\left(-re\right) - im}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.856357253236775 \cdot 10^{-181}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + im\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.398879661315353 \cdot 10^{-149}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - \left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 5.110855543795228 \cdot 10^{+86}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021198 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))