Average Error: 41.2 → 1.1
Time: 2.8s
Precision: binary64
\[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]
↓
\[\frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}
↓
\frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)}

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))
↓
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (exp x) (+ x (* (* x x) (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666))))))
double code(double x) {
	return exp(x) / (exp(x) - 1.0);
}
↓
double code(double x) {
	return exp(x) / (x + ((x * x) * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))));
}

Error

Bits error versus x

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original41.2
Target40.8
Herbie1.1
\[\frac{1}{1 - e^{-x}} \]

Derivation

  1. Initial program 41.2

    \[\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \]

  2. Taylor expanded around 0 15.2

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + x\right)\right)}} \]

  3. Simplified15.2

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{\color{blue}{x + \left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\right)}} \]

  4. Taylor expanded around 0 11.3

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{x + \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}} \]

  5. Simplified1.1

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

  6. Final simplification1.1

    \[\leadsto \frac{e^{x}}{x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021198 
(FPCore (x)
  :name "expq2 (section 3.11)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ 1.0 (- 1.0 (exp (- x))))

  (/ (exp x) (- (exp x) 1.0)))