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Precision: binary64
\[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}} \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 - v \cdot v}\\ \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(t_0 \cdot \left(t_0 \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)\right)} \end{array} \]
\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}}
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \sqrt{1 - v \cdot v}\\
\frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(t_0 \cdot \left(t_0 \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)\right)}
\end{array}

(FPCore (v)
 :precision binary64
 (/ 4.0 (* (* (* 3.0 PI) (- 1.0 (* v v))) (sqrt (- 2.0 (* 6.0 (* v v)))))))
↓
(FPCore (v)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (- 1.0 (* v v)))))
   (/
    1.3333333333333333
    (* PI (* t_0 (* t_0 (sqrt (- 2.0 (* (* v v) 6.0)))))))))
double code(double v) {
	return 4.0 / (((3.0 * ((double) M_PI)) * (1.0 - (v * v))) * sqrt(2.0 - (6.0 * (v * v))));
}
↓
double code(double v) {
	double t_0 = sqrt(1.0 - (v * v));
	return 1.3333333333333333 / (((double) M_PI) * (t_0 * (t_0 * sqrt(2.0 - ((v * v) * 6.0)))));
}

Error

Bits error versus v

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Derivation

  1. Initial program 1.0

    \[\frac{4}{\left(\left(3 \cdot \pi\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)\right) \cdot \sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)}} \]

  2. Simplified0.0

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\left(1 - v \cdot v\right) \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)}} \]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt_binary640.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\color{blue}{\left(\sqrt{1 - v \cdot v} \cdot \sqrt{1 - v \cdot v}\right)} \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)} \]

  5. Applied associate-*l*_binary640.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{1 - v \cdot v} \cdot \left(\sqrt{1 - v \cdot v} \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)\right)}} \]

  6. Simplified0.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\sqrt{1 - v \cdot v} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2 - 6 \cdot \left(v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 - v \cdot v}\right)}\right)} \]

  7. Final simplification0.0

    \[\leadsto \frac{1.3333333333333333}{\pi \cdot \left(\sqrt{1 - v \cdot v} \cdot \left(\sqrt{1 - v \cdot v} \cdot \sqrt{2 - \left(v \cdot v\right) \cdot 6}\right)\right)} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021197 
(FPCore (v)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (22+)"
  :precision binary64
  (/ 4.0 (* (* (* 3.0 PI) (- 1.0 (* v v))) (sqrt (- 2.0 (* 6.0 (* v v)))))))