math.sqrt on complex, real part

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Time: 5.3s

Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.0041652957658585 \cdot 10^{+27}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -24653266729299256:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\frac{im \cdot im}{re} \cdot -0.5\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_0 := \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\\ \mathbf{if}\;im \leq -4.892502961362615 \cdot 10^{-55}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + t_0\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_1 := 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{if}\;im \leq -1.8591419239134423 \cdot 10^{-59}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;im \leq -8.698128566920095 \cdot 10^{-78}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt[3]{t_0 \cdot \left(t_0 \cdot t_0\right)}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -6.2060713421920385 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_2 := 0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -3.9551150572318455 \cdot 10^{-213}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_3 := \sqrt{t_0 - re}\\ \mathbf{if}\;im \leq -4.196486865911031 \cdot 10^{-281}:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{t_3}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4425503680000377 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.405562579947193 \cdot 10^{-202}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{t_3}{im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.0826956855422842 \cdot 10^{-161}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.6683128854529867 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\begin{array}{l} t_4 := \sqrt{t_0}\\ 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + t_4 \cdot t_4\right)} \end{array}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array}\\ \end{array}\\ \end{array}\\ \end{array}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -1.0041652957658585e+27)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im -24653266729299256.0)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* (/ (* im im) re) -0.5))))
     (let* ((t_0 (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))
       (if (<= im -4.892502961362615e-55)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re t_0))))
         (let* ((t_1 (* 0.5 (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (* re -2.0))))))
           (if (<= im -1.8591419239134423e-59)
             t_1
             (if (<= im -8.698128566920095e-78)
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (cbrt (* t_0 (* t_0 t_0)))))))
               (if (<= im -6.2060713421920385e-158)
                 t_1
                 (let* ((t_2 (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))))
                   (if (<= im -3.9551150572318455e-213)
                     t_2
                     (let* ((t_3 (sqrt (- t_0 re))))
                       (if (<= im -4.196486865911031e-281)
                         (* -0.5 (/ (* im (sqrt 2.0)) t_3))
                         (if (<= im 1.4425503680000377e-292)
                           t_2
                           (if (<= im 1.405562579947193e-202)
                             (* 0.5 (/ (sqrt 2.0) (/ t_3 im)))
                             (if (<= im 3.0826956855422842e-161)
                               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re))))
                               (if (<= im 1.6683128854529867e+136)
                                 (let* ((t_4 (sqrt t_0)))
                                   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (* t_4 t_4))))))
                                 (* 0.5 (sqrt (* im 2.0))))))))))))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -1.0041652957658585e+27) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= -24653266729299256.0) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (((im * im) / re) * -0.5));
	} else {
		double t_0 = sqrt((im * im) + (re * re));
		double tmp_1;
		if (im <= -4.892502961362615e-55) {
			tmp_1 = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + t_0));
		} else {
			double t_1 = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re * -2.0));
			double tmp_2;
			if (im <= -1.8591419239134423e-59) {
				tmp_2 = t_1;
			} else if (im <= -8.698128566920095e-78) {
				tmp_2 = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + cbrt(t_0 * (t_0 * t_0))));
			} else if (im <= -6.2060713421920385e-158) {
				tmp_2 = t_1;
			} else {
				double t_2 = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
				double tmp_3;
				if (im <= -3.9551150572318455e-213) {
					tmp_3 = t_2;
				} else {
					double t_3 = sqrt(t_0 - re);
					double tmp_4;
					if (im <= -4.196486865911031e-281) {
						tmp_4 = -0.5 * ((im * sqrt(2.0)) / t_3);
					} else if (im <= 1.4425503680000377e-292) {
						tmp_4 = t_2;
					} else if (im <= 1.405562579947193e-202) {
						tmp_4 = 0.5 * (sqrt(2.0) / (t_3 / im));
					} else if (im <= 3.0826956855422842e-161) {
						tmp_4 = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
					} else if (im <= 1.6683128854529867e+136) {
						double t_4 = sqrt(t_0);
						tmp_4 = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (t_4 * t_4)));
					} else {
						tmp_4 = 0.5 * sqrt(im * 2.0);
					}
					tmp_3 = tmp_4;
				}
				tmp_2 = tmp_3;
			}
			tmp_1 = tmp_2;
		}
		tmp = tmp_1;
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.6
Target	33.8
Herbie	24.2

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Split input into 11 regimes

2. if im < -1.0041652957658585e27

   1. Initial program 43.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

   2. Taylor expanded around -inf 12.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)} \]

   3. Simplified 12.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + re\right)} \]

   if -1.0041652957658585e27 < im < -24653266729299256

   1. Initial program 21.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

   2. Taylor expanded around -inf 45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \frac{{im}^{2}}{re}\right)}} \]

   3. Simplified 45.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im \cdot im}{re} \cdot -0.5\right)}} \]

   if -24653266729299256 < im < -4.8925029613626153e-55

   1. Initial program 23.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

   if -4.8925029613626153e-55 < im < -1.8591419239134423e-59 or -8.6981285669200955e-78 < im < -6.2060713421920385e-158

   1. Initial program 30.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 44.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Applied associate-*r/_binary64 44.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   5. Applied sqrt-div_binary64 44.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   6. Simplified 31.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   7. Taylor expanded around -inf 41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}} \]

   8. Simplified 41.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{re \cdot -2}}} \]

   if -1.8591419239134423e-59 < im < -8.6981285669200955e-78

   1. Initial program 23.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-cbrt-cube_binary64 26.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right) \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)} \]

   if -6.2060713421920385e-158 < im < -3.9551150572318455e-213 or -4.19648686591103086e-281 < im < 1.4425503680000377e-292

   1. Initial program 42.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

   2. Taylor expanded around 0 35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left({\left(\sqrt{2}\right)}^{2} \cdot \sqrt{re}\right)} \]

   3. Simplified 35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)} \]

   if -3.9551150572318455e-213 < im < -4.19648686591103086e-281

   1. Initial program 45.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 60.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Applied associate-*r/_binary64 60.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   5. Applied sqrt-div_binary64 61.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   6. Simplified 53.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   7. Taylor expanded around -inf 38.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   8. Simplified 38.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   if 1.4425503680000377e-292 < im < 1.4055625799471929e-202

   1. Initial program 42.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 60.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   4. Applied associate-*r/_binary64 60.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   5. Applied sqrt-div_binary64 61.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}} \]

   6. Simplified 52.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64 52.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \]

   9. Applied associate-/l*_binary64 52.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{im \cdot im}}}} \]

   10. Simplified 38.0

       \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{im}}} \]

   if 1.4055625799471929e-202 < im < 3.08269568554228425e-161

   1. Initial program 44.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

   2. Taylor expanded around 0 47.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)} \]

   if 3.08269568554228425e-161 < im < 1.66831288545298666e136

   1. Initial program 24.3

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]
   2. Using strategy rm

   3. Applied add-sqr-sqrt_binary64 24.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)} \]

   if 1.66831288545298666e136 < im

   1. Initial program 58.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)} \]

   2. Taylor expanded around 0 8.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{im}} \]
3. Recombined 11 regimes into one program.

4. Final simplification 24.2

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.0041652957658585 \cdot 10^{+27}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -24653266729299256:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\frac{im \cdot im}{re} \cdot -0.5\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -4.892502961362615 \cdot 10^{-55}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -1.8591419239134423 \cdot 10^{-59}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -8.698128566920095 \cdot 10^{-78}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt[3]{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \left(\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} \cdot \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -6.2060713421920385 \cdot 10^{-158}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -3.9551150572318455 \cdot 10^{-213}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -4.196486865911031 \cdot 10^{-281}:\\ \;\;\;\;-0.5 \cdot \frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.4425503680000377 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.405562579947193 \cdot 10^{-202}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}{im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.0826956855422842 \cdot 10^{-161}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.6683128854529867 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}} \cdot \sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re}}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot 2}\\ \end{array} \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021196 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))