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Precision: binary32
\[-1 \leq sinTheta_O \land sinTheta_O \leq 1 \land -1 \leq h \land h \leq 1 \land 0 \leq eta \land eta \leq 10\]
\[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\\ \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + t_0} \cdot \sqrt{eta - t_0}}\right) \end{array} \]
\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right)
↓
\begin{array}{l}
t_0 := \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\\
\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + t_0} \cdot \sqrt{eta - t_0}}\right)
\end{array}

(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (asin
  (/
   h
   (sqrt
    (-
     (* eta eta)
     (/
      (* sinTheta_O sinTheta_O)
      (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))
↓
(FPCore (sinTheta_O h eta)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (/ sinTheta_O (sqrt (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))
   (asin (/ h (* (sqrt (+ eta t_0)) (sqrt (- eta t_0)))))))
float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	return asinf(h / sqrtf((eta * eta) - ((sinTheta_O * sinTheta_O) / sqrtf(1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O)))));
}
↓
float code(float sinTheta_O, float h, float eta) {
	float t_0 = sinTheta_O / sqrtf(sqrtf(1.0f - (sinTheta_O * sinTheta_O)));
	return asinf(h / (sqrtf(eta + t_0) * sqrtf(eta - t_0)));
}

Error

Bits error versus sinTheta_O

Bits error versus h

Bits error versus eta

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Derivation

  1. Initial program 2.5

    \[\sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}\right) \]
  2. Using strategy rm

  3. Applied add-sqr-sqrt_binary322.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \frac{sinTheta_O \cdot sinTheta_O}{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}} \cdot \sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  4. Applied times-frac_binary322.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta \cdot eta - \color{blue}{\frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}} \cdot \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  5. Applied difference-of-squares_binary322.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{\color{blue}{\left(eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right) \cdot \left(eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}\right)}}}\right) \]

  6. Applied sqrt-prod_binary320.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\color{blue}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}}\right) \]

  7. Final simplification0.5

    \[\leadsto \sin^{-1} \left(\frac{h}{\sqrt{eta + \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}} \cdot \sqrt{eta - \frac{sinTheta_O}{\sqrt{\sqrt{1 - sinTheta_O \cdot sinTheta_O}}}}}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2021190 
(FPCore (sinTheta_O h eta)
  :name "HairBSDF, gamma for a refracted ray"
  :precision binary32
  :pre (and (<= -1.0 sinTheta_O 1.0) (<= -1.0 h 1.0) (<= 0.0 eta 10.0))
  (asin (/ h (sqrt (- (* eta eta) (/ (* sinTheta_O sinTheta_O) (sqrt (- 1.0 (* sinTheta_O sinTheta_O)))))))))