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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.45305725845355 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\left(\left(-re\right) - \frac{0.5 \cdot im}{\frac{re}{im}}\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.2893888095222202 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.1200050919961303 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -2.45305725845355 \cdot 10^{+153}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\left(\left(-re\right) - \frac{0.5 \cdot im}{\frac{re}{im}}\right) - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.2893888095222202 \cdot 10^{-306}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 3.1200050919961303 \cdot 10^{+102}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -2.45305725845355e+153)
   (*
    0.5
    (/
     (* (sqrt 2.0) (fabs im))
     (sqrt (- (- (- re) (/ (* 0.5 im) (/ re im))) re))))
   (if (<= re 1.2893888095222202e-306)
     (*
      0.5
      (/
       (* (sqrt 2.0) (fabs im))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re 3.1200050919961303e+102)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -2.45305725845355e+153) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) * fabs(im)) / sqrt((-re - ((0.5 * im) / (re / im))) - re));
	} else if (re <= 1.2893888095222202e-306) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) * fabs(im)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 3.1200050919961303e+102) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.9
Target34.0
Herbie17.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if re < -2.45305725845354985e153

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_346264.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_343064.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_350564.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified51.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_350451.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Simplified51.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    10. Taylor expanded around -inf 16.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left(-\left(re + 0.5 \cdot \frac{{im}^{2}}{re}\right)\right)} - re}}\]

    11. Simplified8.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\color{blue}{\left(\left(-re\right) - \frac{im \cdot 0.5}{\frac{re}{im}}\right)} - re}}\]

    if -2.45305725845354985e153 < re < 1.28938880952222021e-306

    1. Initial program 40.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary64_346240.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary64_343040.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary64_350540.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary64_350430.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Simplified21.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 1.28938880952222021e-306 < re < 3.12000509199613031e102

    1. Initial program 20.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 3.12000509199613031e102 < re

    1. Initial program 52.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around inf 9.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification17.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -2.45305725845355 \cdot 10^{+153}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\left(\left(-re\right) - \frac{0.5 \cdot im}{\frac{re}{im}}\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.2893888095222202 \cdot 10^{-306}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.1200050919961303 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021176 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))