Average Error: 9.8 → 0.2
Time: 16.3s
Precision: binary64
\[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]
↓
\[\left(\log \left({y}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}\right) \cdot x + \left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)\right) - t\]
\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t
↓
\left(\log \left({y}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}\right) \cdot x + \left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)\right) - t
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (- (+ (* x (log y)) (* z (log (- 1.0 y)))) t))
↓
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (-
  (+
   (* (log (pow y (+ 0.3333333333333333 0.3333333333333333))) x)
   (-
    (* x (log (cbrt y)))
    (*
     z
     (+
      y
      (+ (* 0.25 (pow y 4.0)) (* y (* y (+ (* y 0.3333333333333333) 0.5))))))))
  t))
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((x * log(y)) + (z * log(1.0 - y))) - t;
}
↓
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return ((log(pow(y, (0.3333333333333333 + 0.3333333333333333))) * x) + ((x * log(cbrt(y))) - (z * (y + ((0.25 * pow(y, 4.0)) + (y * (y * ((y * 0.3333333333333333) + 0.5)))))))) - t;
}

Error

Bits error versus x

Bits error versus y

Bits error versus z

Bits error versus t

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Results

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Target

Original9.8
Target0.2
Herbie0.2
\[\left(-z\right) \cdot \left(\left(0.5 \cdot \left(y \cdot y\right) + y\right) + \frac{0.3333333333333333}{1 \cdot \left(1 \cdot 1\right)} \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\right) - \left(t - x \cdot \log y\right)\]

Derivation

  1. Initial program 9.8

    \[\left(x \cdot \log y + z \cdot \log \left(1 - y\right)\right) - t\]

  2. Taylor expanded around 0 0.2

    \[\leadsto \left(x \cdot \log y + z \cdot \color{blue}{\left(-\left(0.25 \cdot {y}^{4} + \left(y + \left(0.3333333333333333 \cdot {y}^{3} + 0.5 \cdot {y}^{2}\right)\right)\right)\right)}\right) - t\]

  3. Simplified0.2

    \[\leadsto \left(x \cdot \log y + z \cdot \color{blue}{\left(\left(-y\right) - \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.25 \cdot {y}^{4}\right)\right)}\right) - t\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied add-cube-cbrt_binary64_188680.2

    \[\leadsto \left(x \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) \cdot \sqrt[3]{y}\right)} + z \cdot \left(\left(-y\right) - \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.25 \cdot {y}^{4}\right)\right)\right) - t\]

  6. Applied log-prod_binary64_189190.3

    \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) + \log \left(\sqrt[3]{y}\right)\right)} + z \cdot \left(\left(-y\right) - \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.25 \cdot {y}^{4}\right)\right)\right) - t\]

  7. Applied distribute-rgt-in_binary64_187830.3

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) \cdot x + \log \left(\sqrt[3]{y}\right) \cdot x\right)} + z \cdot \left(\left(-y\right) - \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.25 \cdot {y}^{4}\right)\right)\right) - t\]

  8. Applied associate-+l+_binary64_187660.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) \cdot x + \left(\log \left(\sqrt[3]{y}\right) \cdot x + z \cdot \left(\left(-y\right) - \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(0.5 + y \cdot 0.3333333333333333\right) + 0.25 \cdot {y}^{4}\right)\right)\right)\right)} - t\]

  9. Simplified0.3

    \[\leadsto \left(\log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \sqrt[3]{y}\right) \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot y + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)}\right) - t\]
  10. Using strategy rm

  11. Applied pow1/3_binary64_189150.2

    \[\leadsto \left(\log \left(\sqrt[3]{y} \cdot \color{blue}{{y}^{0.3333333333333333}}\right) \cdot x + \left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot y + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)\right) - t\]

  12. Applied pow1/3_binary64_189150.2

    \[\leadsto \left(\log \left(\color{blue}{{y}^{0.3333333333333333}} \cdot {y}^{0.3333333333333333}\right) \cdot x + \left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot y + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)\right) - t\]

  13. Applied pow-prod-up_binary64_189030.2

    \[\leadsto \left(\log \color{blue}{\left({y}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}\right)} \cdot x + \left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot y + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)\right) - t\]

  14. Final simplification0.2

    \[\leadsto \left(\log \left({y}^{\left(0.3333333333333333 + 0.3333333333333333\right)}\right) \cdot x + \left(x \cdot \log \left(\sqrt[3]{y}\right) - z \cdot \left(y + \left(0.25 \cdot {y}^{4} + y \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.3333333333333333 + 0.5\right)\right)\right)\right)\right)\right) - t\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021176 
(FPCore (x y z t)
  :name "Numeric.SpecFunctions:invIncompleteBetaWorker from math-functions-0.1.5.2, B"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (- (* (- z) (+ (+ (* 0.5 (* y y)) y) (* (/ 0.3333333333333333 (* 1.0 (* 1.0 1.0))) (* y (* y y))))) (- t (* x (log y))))

  (- (+ (* x (log y)) (* z (log (- 1.0 y)))) t))