Average Error: 13.6 → 0.3
Time: 19.3s
Precision: binary32
\[2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1 \land 2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1 \land 0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\]
\[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\]
↓
\[\sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos + 2\right) - ux\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\]
\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}
↓
\sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos + 2\right) - ux\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (cos (* (* uy 2.0) PI))
  (sqrt
   (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))
↓
(FPCore (ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (*
  (sqrt (* (- ux (* ux maxCos)) (- (+ (* ux maxCos) 2.0) ux)))
  (cos (* 2.0 (* uy PI)))))
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return cosf((uy * 2.0f) * ((float) M_PI)) * sqrtf(1.0f - (((1.0f - ux) + (ux * maxCos)) * ((1.0f - ux) + (ux * maxCos))));
}
↓
float code(float ux, float uy, float maxCos) {
	return sqrtf((ux - (ux * maxCos)) * (((ux * maxCos) + 2.0f) - ux)) * cosf(2.0f * (uy * ((float) M_PI)));
}

Error

Bits error versus ux

Bits error versus uy

Bits error versus maxCos

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Derivation

  1. Initial program 13.6

    \[\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right)}\]

  2. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) + ux \cdot maxCos\right) + 1\right)}}\]

  3. Taylor expanded around inf 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(maxCos \cdot ux + 2\right) - ux\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\]

  4. Final simplification0.3

    \[\leadsto \sqrt{\left(ux - ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos + 2\right) - ux\right)} \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021175 
(FPCore (ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone, x"
  :precision binary32
  :pre (and (<= 2.328306437e-10 ux 1.0) (<= 2.328306437e-10 uy 1.0) (<= 0.0 maxCos 1.0))
  (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) (+ (- 1.0 ux) (* ux maxCos)))))))