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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.075185445654715 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{re - im}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -3.0777245164695623 \cdot 10^{-229}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq -5.870836699619269 \cdot 10^{-285}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -5.766888255040992 \cdot 10^{-307}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.064655107843604 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.487010744950657 \cdot 10^{-42}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1342268020.8883793:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -1.075185445654715 \cdot 10^{+60}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{re - im}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq -3.0777245164695623 \cdot 10^{-229}:\\
\;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\

\mathbf{elif}\;im \leq -5.870836699619269 \cdot 10^{-285}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq -5.766888255040992 \cdot 10^{-307}:\\
\;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\

\mathbf{elif}\;im \leq 3.064655107843604 \cdot 10^{-303}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 5.487010744950657 \cdot 10^{-42}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1342268020.8883793:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -1.075185445654715e+60)
   (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (- re im))))
   (if (<= im -3.0777245164695623e-229)
     (*
      (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
      -0.5)
     (if (<= im -5.870836699619269e-285)
       (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
       (if (<= im -5.766888255040992e-307)
         (*
          (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
          -0.5)
         (if (<= im 3.064655107843604e-303)
           (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
           (if (<= im 5.487010744950657e-42)
             (*
              0.5
              (*
               (sqrt 2.0)
               (/ im (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
             (if (<= im 1342268020.8883793)
               (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re))))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -1.075185445654715e+60) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * sqrt(re - im));
	} else if (im <= -3.0777245164695623e-229) {
		tmp = ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * -0.5;
	} else if (im <= -5.870836699619269e-285) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= -5.766888255040992e-307) {
		tmp = ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * -0.5;
	} else if (im <= 3.064655107843604e-303) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 5.487010744950657e-42) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) * (im / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)));
	} else if (im <= 1342268020.8883793) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.1
Target33.3
Herbie24.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -1.07518544565471504e60

    1. Initial program 47.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 11.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)}\]

    3. Simplified11.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied sqrt-prod_binary6412.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\left(-im\right) + re}\right)}\]

    if -1.07518544565471504e60 < im < -3.0777245164695623e-229 or -5.8708366996192692e-285 < im < -5.76688825504099228e-307

    1. Initial program 29.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6442.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6442.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6442.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 30.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -3.0777245164695623e-229 < im < -5.8708366996192692e-285 or -5.76688825504099228e-307 < im < 3.06465510784360385e-303 or 5.48701074495065683e-42 < im < 1342268020.88837934

    1. Initial program 32.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 40.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified40.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

    if 3.06465510784360385e-303 < im < 5.48701074495065683e-42

    1. Initial program 36.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6451.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6451.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6451.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified42.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied *-un-lft-identity_binary6442.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

    9. Applied sqrt-prod_binary6442.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    10. Applied sqrt-prod_binary6442.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    11. Applied times-frac_binary6442.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)}\]

    12. Simplified42.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{im \cdot im}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\]

    13. Simplified34.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\right)\]

    if 1342268020.88837934 < im

    1. Initial program 41.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 13.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification24.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.075185445654715 \cdot 10^{+60}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{re - im}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -3.0777245164695623 \cdot 10^{-229}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq -5.870836699619269 \cdot 10^{-285}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -5.766888255040992 \cdot 10^{-307}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 3.064655107843604 \cdot 10^{-303}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.487010744950657 \cdot 10^{-42}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \frac{im}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1342268020.8883793:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021175 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))