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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -7.455275584273787 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.938317007893133 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.893530321473067 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 9454781094521.861:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.41289896059484 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -7.455275584273787 \cdot 10^{+124}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq -3.938317007893133 \cdot 10^{-56}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 2.893530321473067 \cdot 10^{-80}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 9454781094521.861:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 6.41289896059484 \cdot 10^{+34}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -7.455275584273787e+124)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* re -2.0))))
   (if (<= re -3.938317007893133e-56)
     (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
     (if (<= re 2.893530321473067e-80)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))
       (if (<= re 9454781094521.861)
         (*
          0.5
          (/
           (sqrt (* 2.0 (* im im)))
           (sqrt (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
         (if (<= re 6.41289896059484e+34)
           (* 0.5 (sqrt (* 2.0 im)))
           (* 0.5 (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -7.455275584273787e+124) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re * -2.0));
	} else if (re <= -3.938317007893133e-56) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else if (re <= 2.893530321473067e-80) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	} else if (re <= 9454781094521.861) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else if (re <= 6.41289896059484e+34) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * im);
	} else {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 6 regimes

  2. if re < -7.4552755842737874e124

    1. Initial program 56.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 9.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-2 \cdot re\right)}}\]

    if -7.4552755842737874e124 < re < -3.9383170078931331e-56

    1. Initial program 16.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if -3.9383170078931331e-56 < re < 2.893530321473067e-80

    1. Initial program 28.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 11.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} - re\right)}\]

    if 2.893530321473067e-80 < re < 9454781094521.86133

    1. Initial program 40.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip--_binary6440.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6440.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6441.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}}\]

    6. Simplified28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re}}\]

    7. Simplified28.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\color{blue}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}}\]

    if 9454781094521.86133 < re < 6.41289896059484017e34

    1. Initial program 47.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)} - re\right)}\]

    3. Simplified30.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)} - re\right)}\]

    4. Taylor expanded around 0 30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{im} \cdot \sqrt{2}\right)}\]

    5. Simplified30.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{im}\right)}\]
    6. Using strategy rm

    7. Applied sqrt-unprod_binary6430.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\sqrt{2 \cdot im}}\]

    8. Simplified30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{im \cdot 2}}\]

    if 6.41289896059484017e34 < re

    1. Initial program 58.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 13.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)}\]
  3. Recombined 6 regimes into one program.

  4. Final simplification13.7

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -7.455275584273787 \cdot 10^{+124}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re \cdot -2\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -3.938317007893133 \cdot 10^{-56}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.893530321473067 \cdot 10^{-80}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 9454781094521.861:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 6.41289896059484 \cdot 10^{+34}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021174 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))