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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.0434512204535871 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {\left(2 \cdot \left(re - im\right)\right)}^{0.5}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.760861392876833 \cdot 10^{-176}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.1700211550628416 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -4.191002060773574 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.0023568649570381 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.372459173446276 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -1.0434512204535871 \cdot 10^{+89}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot {\left(2 \cdot \left(re - im\right)\right)}^{0.5}\\

\mathbf{elif}\;im \leq -2.760861392876833 \cdot 10^{-176}:\\
\;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\

\mathbf{elif}\;im \leq -2.1700211550628416 \cdot 10^{-217}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq -4.191002060773574 \cdot 10^{-254}:\\
\;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.0023568649570381 \cdot 10^{-135}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 8.372459173446276 \cdot 10^{+106}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -1.0434512204535871e+89)
   (* 0.5 (pow (* 2.0 (- re im)) 0.5))
   (if (<= im -2.760861392876833e-176)
     (*
      (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
      -0.5)
     (if (<= im -2.1700211550628416e-217)
       (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
       (if (<= im -4.191002060773574e-254)
         (*
          (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
          -0.5)
         (if (<= im 1.0023568649570381e-135)
           (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
           (if (<= im 8.372459173446276e+106)
             (*
              0.5
              (/
               (sqrt (* 2.0 (* im im)))
               (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))
             (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re)))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -1.0434512204535871e+89) {
		tmp = 0.5 * pow((2.0 * (re - im)), 0.5);
	} else if (im <= -2.760861392876833e-176) {
		tmp = ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * -0.5;
	} else if (im <= -2.1700211550628416e-217) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= -4.191002060773574e-254) {
		tmp = ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * -0.5;
	} else if (im <= 1.0023568649570381e-135) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 8.372459173446276e+106) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.4
Target33.5
Herbie22.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if im < -1.04345122045358711e89

    1. Initial program 49.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)}\]

    3. Simplified10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied pow1_binary6410.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{{\left(\left(-im\right) + re\right)}^{1}}}\]

    6. Applied pow1_binary6410.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{{2}^{1}} \cdot {\left(\left(-im\right) + re\right)}^{1}}\]

    7. Applied pow-prod-down_binary6410.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{{\left(2 \cdot \left(\left(-im\right) + re\right)\right)}^{1}}}\]

    8. Applied sqrt-pow1_binary6410.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{{\left(2 \cdot \left(\left(-im\right) + re\right)\right)}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\]

    9. Simplified10.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot {\left(2 \cdot \left(\left(-im\right) + re\right)\right)}^{\color{blue}{0.5}}\]

    if -1.04345122045358711e89 < im < -2.7608613928768332e-176 or -2.1700211550628416e-217 < im < -4.19100206077357381e-254

    1. Initial program 28.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6439.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6439.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6440.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified31.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 28.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -2.7608613928768332e-176 < im < -2.1700211550628416e-217 or -4.19100206077357381e-254 < im < 1.0023568649570381e-135

    1. Initial program 42.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified35.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

    if 1.0023568649570381e-135 < im < 8.37245917344628e106

    1. Initial program 23.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6432.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6432.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6432.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified23.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 8.37245917344628e106 < im

    1. Initial program 52.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 9.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification22.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.0434512204535871 \cdot 10^{+89}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot {\left(2 \cdot \left(re - im\right)\right)}^{0.5}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.760861392876833 \cdot 10^{-176}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq -2.1700211550628416 \cdot 10^{-217}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -4.191002060773574 \cdot 10^{-254}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.0023568649570381 \cdot 10^{-135}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 8.372459173446276 \cdot 10^{+106}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021174 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))