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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.6284670281102737 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -7.594043707095321 \cdot 10^{-114}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -9.515876010320053 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.4753072681602385 \cdot 10^{-164}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.379531245742764 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.860124411478432 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5184799493309332 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;im \leq -1.6284670281102737 \cdot 10^{+53}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq -7.594043707095321 \cdot 10^{-114}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\

\mathbf{elif}\;im \leq -9.515876010320053 \cdot 10^{-305}:\\
\;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\

\mathbf{elif}\;im \leq 4.4753072681602385 \cdot 10^{-164}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 2.379531245742764 \cdot 10^{-10}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{im}}\\

\mathbf{elif}\;im \leq 5.860124411478432 \cdot 10^{+28}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\mathbf{elif}\;im \leq 1.5184799493309332 \cdot 10^{+111}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= im -1.6284670281102737e+53)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- re im))))
   (if (<= im -7.594043707095321e-114)
     (*
      0.5
      (sqrt
       (*
        2.0
        (+
         re
         (*
          (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im))))
          (sqrt (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))))
     (if (<= im -9.515876010320053e-305)
       (*
        (/ (* im (sqrt 2.0)) (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
        -0.5)
       (if (<= im 4.4753072681602385e-164)
         (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
         (if (<= im 2.379531245742764e-10)
           (*
            0.5
            (/ (sqrt 2.0) (/ (sqrt (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)) im)))
           (if (<= im 5.860124411478432e+28)
             (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re)))
             (if (<= im 1.5184799493309332e+111)
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* re re) (* im im)))))))
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ im re))))))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (im <= -1.6284670281102737e+53) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re - im));
	} else if (im <= -7.594043707095321e-114) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))) * sqrt(sqrt((re * re) + (im * im))))));
	} else if (im <= -9.515876010320053e-305) {
		tmp = ((im * sqrt(2.0)) / sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * -0.5;
	} else if (im <= 4.4753072681602385e-164) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 2.379531245742764e-10) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0) / (sqrt(sqrt((re * re) + (im * im)) - re) / im));
	} else if (im <= 5.860124411478432e+28) {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	} else if (im <= 1.5184799493309332e+111) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((re * re) + (im * im))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.2
Target33.1
Herbie23.4
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 7 regimes

  2. if im < -1.6284670281102737e53

    1. Initial program 45.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around -inf 12.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{-1 \cdot im} + re\right)}\]

    3. Simplified12.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(-im\right)} + re\right)}\]

    if -1.6284670281102737e53 < im < -7.59404370709532149e-114

    1. Initial program 24.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied add-sqr-sqrt_binary6424.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}} + re\right)}\]

    if -7.59404370709532149e-114 < im < -9.51587601032005312e-305

    1. Initial program 42.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6457.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6457.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6457.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified49.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 39.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{-1 \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    8. Simplified39.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sqrt{2}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if -9.51587601032005312e-305 < im < 4.47530726816023846e-164 or 2.37953124574276406e-10 < im < 5.86012441147843165e28

    1. Initial program 38.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 36.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified35.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]

    if 4.47530726816023846e-164 < im < 2.37953124574276406e-10

    1. Initial program 28.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6440.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6440.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6440.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified27.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary6427.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Applied associate-/l*_binary6427.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{\sqrt{im \cdot im}}}}\]

    10. Simplified26.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\color{blue}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{im}}}\]

    if 5.86012441147843165e28 < im < 1.5184799493309332e111

    1. Initial program 19.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 1.5184799493309332e111 < im

    1. Initial program 52.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 9.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} + re\right)}\]
  3. Recombined 7 regimes into one program.

  4. Final simplification23.4

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.6284670281102737 \cdot 10^{+53}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re - im\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -7.594043707095321 \cdot 10^{-114}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}} \cdot \sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im}}\right)}\\ \mathbf{elif}\;im \leq -9.515876010320053 \cdot 10^{-305}:\\ \;\;\;\;\frac{im \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}} \cdot -0.5\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.4753072681602385 \cdot 10^{-164}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.379531245742764 \cdot 10^{-10}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}{im}}\\ \mathbf{elif}\;im \leq 5.860124411478432 \cdot 10^{+28}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.5184799493309332 \cdot 10^{+111}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{re \cdot re + im \cdot im}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im + re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021173 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))