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Precision: binary64
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 3\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 3}\]
\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}
↓
\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 3\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 3}
(FPCore (v t)
 :precision binary64
 (/
  (- 1.0 (* 5.0 (* v v)))
  (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))
↓
(FPCore (v t)
 :precision binary64
 (*
  (/
   (- 1.0 (* 5.0 (* v v)))
   (*
    (*
     (* t (* PI (sqrt 2.0)))
     (sqrt (- 1.0 (* (* (* v v) 3.0) (* (* v v) 3.0)))))
    (- 1.0 (* v v))))
  (sqrt (+ 1.0 (* (* v v) 3.0)))))
double code(double v, double t) {
	return (1.0 - (5.0 * (v * v))) / (((((double) M_PI) * t) * sqrt(2.0 * (1.0 - (3.0 * (v * v))))) * (1.0 - (v * v)));
}
↓
double code(double v, double t) {
	return ((1.0 - (5.0 * (v * v))) / (((t * (((double) M_PI) * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 - (((v * v) * 3.0) * ((v * v) * 3.0)))) * (1.0 - (v * v)))) * sqrt(1.0 + ((v * v) * 3.0));
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.5

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  2. Taylor expanded around 0 0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot {v}^{2}}\right)} \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  3. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)} \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  4. Using strategy rm

  5. Applied flip--_binary640.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  6. Applied sqrt-div_binary640.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  7. Applied associate-*r/_binary640.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}} \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  8. Applied associate-*l/_binary640.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\color{blue}{\frac{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\]

  9. Applied associate-/r/_binary640.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]

  10. Final simplification0.4

    \[\leadsto \frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(t \cdot \left(\pi \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 3\right) \cdot \left(\left(v \cdot v\right) \cdot 3\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)} \cdot \sqrt{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021147 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))