Average Error: 0.1 → 0.2
Time: 4.3s
Precision: binary64
\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\]
↓
\[-0.3333333333333333 + \left(a + \frac{1}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} \cdot \left(\frac{rand}{\sqrt[3]{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\right)\]
\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)
↓
-0.3333333333333333 + \left(a + \frac{1}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} \cdot \left(\frac{rand}{\sqrt[3]{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\right)
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))
↓
(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  -0.3333333333333333
  (+
   a
   (*
    (/ 1.0 (* (cbrt 3.0) (cbrt 3.0)))
    (* (/ rand (cbrt 3.0)) (sqrt (+ -0.3333333333333333 a)))))))
double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt(9.0 * (a - (1.0 / 3.0)))) * rand));
}
↓
double code(double a, double rand) {
	return -0.3333333333333333 + (a + ((1.0 / (cbrt(3.0) * cbrt(3.0))) * ((rand / cbrt(3.0)) * sqrt(-0.3333333333333333 + a))));
}

Error

Bits error versus a

Bits error versus rand

Try it out

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Initial program 0.1

    \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\]

  2. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right)}\]
  3. Using strategy rm

  4. Applied add-sqr-sqrt_binary640.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{9} \cdot \sqrt{9}\right)}}}\right)\]

  5. Applied associate-*r*_binary640.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\left(\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \sqrt{9}\right) \cdot \sqrt{9}}}}\right)\]

  6. Simplified0.1

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{\left(\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 3\right)} \cdot \sqrt{9}}}\right)\]
  7. Using strategy rm

  8. Applied sqrt-prod_binary640.2

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{\left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot 3} \cdot \sqrt{\sqrt{9}}}}\right)\]

  9. Simplified0.2

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{3 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{9}}}\right)\]

  10. Simplified0.2

    \[\leadsto \left(a - 0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{3 \cdot \left(a - 0.3333333333333333\right)} \cdot \color{blue}{\sqrt{3}}}\right)\]

  11. Taylor expanded around 0 0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \frac{rand}{{\left(\sqrt{3}\right)}^{2}}\right) - 0.3333333333333333}\]

  12. Simplified0.1

    \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 + \left(a + \frac{rand}{3} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\]
  13. Using strategy rm

  14. Applied add-cube-cbrt_binary640.1

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \left(a + \frac{rand}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}\right) \cdot \sqrt[3]{3}}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\]

  15. Applied *-un-lft-identity_binary640.1

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \left(a + \frac{\color{blue}{1 \cdot rand}}{\left(\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}\right) \cdot \sqrt[3]{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\]

  16. Applied times-frac_binary640.1

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \left(a + \color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} \cdot \frac{rand}{\sqrt[3]{3}}\right)} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\]

  17. Applied associate-*l*_binary640.2

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \left(a + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} \cdot \left(\frac{rand}{\sqrt[3]{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)\]

  18. Final simplification0.2

    \[\leadsto -0.3333333333333333 + \left(a + \frac{1}{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{3}} \cdot \left(\frac{rand}{\sqrt[3]{3}} \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\right)\]

Alternatives

Reproduce

herbie shell --seed 2021118 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))