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Precision: binary64
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3373774678016222 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.3844586811812545 \cdot 10^{-253}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.878191593403322 \cdot 10^{-211}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.0147073164340627 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;re \leq -1.3373774678016222 \cdot 10^{+154}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 1.3844586811812545 \cdot 10^{-253}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 4.878191593403322 \cdot 10^{-211}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)\right)}\\

\mathbf{elif}\;re \leq 3.0147073164340627 \cdot 10^{+116}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -1.3373774678016222e+154)
   (* 0.5 (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (- (- re) re))))
   (if (<= re 1.3844586811812545e-253)
     (*
      0.5
      (/
       (* (sqrt 2.0) (fabs im))
       (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
     (if (<= re 4.878191593403322e-211)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (+ im (* 0.5 (/ (* re re) im)))))))
       (if (<= re 3.0147073164340627e+116)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
         (* 0.5 (* 2.0 (sqrt re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -1.3373774678016222e+154) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(-re - re));
	} else if (re <= 1.3844586811812545e-253) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) * fabs(im)) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re));
	} else if (re <= 4.878191593403322e-211) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + (im + (0.5 * ((re * re) / im)))));
	} else if (re <= 3.0147073164340627e+116) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * (2.0 * sqrt(re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Target

Original38.6
Target33.6
Herbie19.0
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

  1. Split input into 5 regimes

  2. if re < -1.33737746780162215e154

    1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6464.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified50.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    7. Taylor expanded around -inf 20.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-1 \cdot re} - re}}\]

    if -1.33737746780162215e154 < re < 1.3844586811812545e-253

    1. Initial program 39.2

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
    2. Using strategy rm

    3. Applied flip-+_binary6439.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    4. Applied associate-*r/_binary6439.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    5. Applied sqrt-div_binary6439.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

    6. Simplified30.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
    7. Using strategy rm

    8. Applied sqrt-prod_binary6430.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    9. Simplified21.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

    if 1.3844586811812545e-253 < re < 4.878191593403322e-211

    1. Initial program 28.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 33.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)} + re\right)}\]

    3. Simplified33.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)} + re\right)}\]

    if 4.878191593403322e-211 < re < 3.0147073164340627e116

    1. Initial program 18.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    if 3.0147073164340627e116 < re

    1. Initial program 54.6

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 10.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{re} \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2}\right)}\]

    3. Simplified9.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \sqrt{re}\right)}\]
  3. Recombined 5 regimes into one program.

  4. Final simplification19.0

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -1.3373774678016222 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\left(-re\right) - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 1.3844586811812545 \cdot 10^{-253}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 4.878191593403322 \cdot 10^{-211}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.0147073164340627 \cdot 10^{+116}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(2 \cdot \sqrt{re}\right)\\ \end{array}\]

Alternatives

Reproduce

herbie shell --seed 2021111 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))