math.sqrt on complex, real part

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Precision: binary64

Math

\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

↓

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -9.54588978322931 \cdot 10^{+243}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{re \cdot -2}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.348090976184754 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -7.505771444393745 \cdot 10^{-145}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -2.361083726192336 \cdot 10^{-294}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{im - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.503501099244196 \cdot 10^{-297}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot -2}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.918472623130481 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.996337957612594 \cdot 10^{+104}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

↓

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= re -9.54588978322931e+243)
   (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* im (/ im (* re -2.0))))))
   (if (<= re -1.348090976184754e+154)
     (* 0.5 (/ (sqrt (* 2.0 (* im im))) (sqrt (* re -2.0))))
     (if (<= re -7.505771444393745e-145)
       (*
        0.5
        (/
         (* (sqrt 2.0) (fabs im))
         (sqrt (- (sqrt (+ (* im im) (* re re))) re))))
       (if (<= re -2.361083726192336e-294)
         (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (* im (/ im (- im re))))))
         (if (<= re 2.503501099244196e-297)
           (* 0.5 (sqrt (* im -2.0)))
           (if (<= re 3.918472623130481e-292)
             (* 0.5 (sqrt (* 2.0 im)))
             (if (<= re 2.996337957612594e+104)
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re (sqrt (+ (* im im) (* re re)))))))
               (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ re re))))))))))))

C

double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) + re));
}

↓

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (re <= -9.54588978322931e+243) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im * (im / (re * -2.0))));
	} else if (re <= -1.348090976184754e+154) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(2.0 * (im * im)) / sqrt(re * -2.0));
	} else if (re <= -7.505771444393745e-145) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(2.0) * fabs(im)) / sqrt(sqrt((im * im) + (re * re)) - re));
	} else if (re <= -2.361083726192336e-294) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im * (im / (im - re))));
	} else if (re <= 2.503501099244196e-297) {
		tmp = 0.5 * sqrt(im * -2.0);
	} else if (re <= 3.918472623130481e-292) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * im);
	} else if (re <= 2.996337957612594e+104) {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + sqrt((im * im) + (re * re))));
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (re + re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

Target

Original	38.9
Target	33.9
Herbie	19.7

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;re < 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{2} \cdot \sqrt{\frac{im \cdot im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\\ \end{array}\]

Derivation

1. Split input into 8 regimes

2. if re < -9.54588978322930981e243

   1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity_binary64 49.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied times-frac_binary64 48.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   8. Simplified 48.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   9. Taylor expanded around -inf 18.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{-2 \cdot re}}\right)}\]

   10. Simplified 18.4

       \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{re \cdot -2}}\right)}\]

   if -9.54588978322930981e243 < re < -1.348090976184754e154

   1. Initial program 64.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64 64.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 52.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   7. Taylor expanded around -inf 23.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{\color{blue}{-2 \cdot re}}}\]

   if -1.348090976184754e154 < re < -7.50577144439374481e-145

   1. Initial program 45.1

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 45.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Applied associate-*r/_binary64 45.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   5. Applied sqrt-div_binary64 45.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re\right)}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   6. Simplified 29.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   7. Using strategy rm

   8. Applied sqrt-prod_binary64 29.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\color{blue}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{im \cdot im}}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   9. Simplified 15.3

      \[\leadsto 0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \color{blue}{\left|im\right|}}{\sqrt{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]

   if -7.50577144439374481e-145 < re < -2.3610837261923362e-294

   1. Initial program 31.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]
   2. Using strategy rm

   3. Applied flip-+_binary64 31.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} \cdot \sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re \cdot re}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}}\]

   4. Simplified 31.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{\color{blue}{im \cdot im}}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}}\]
   5. Using strategy rm

   6. Applied *-un-lft-identity_binary64 31.1

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \frac{im \cdot im}{\color{blue}{1 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}}}\]

   7. Applied times-frac_binary64 28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(\frac{im}{1} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}}\]

   8. Simplified 28.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{im} \cdot \frac{im}{\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re}\right)}\]

   9. Taylor expanded around 0 33.0

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{\color{blue}{im} - re}\right)}\]

   if -2.3610837261923362e-294 < re < 2.5035010992441961e-297

   1. Initial program 37.0

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around -inf 29.9

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot im\right)}}\]

   if 2.5035010992441961e-297 < re < 3.9184726231304811e-292

   1. Initial program 27.4

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around 0 24.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{im}}\]

   if 3.9184726231304811e-292 < re < 2.99633795761259406e104

   1. Initial program 20.9

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   if 2.99633795761259406e104 < re

   1. Initial program 51.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} + re\right)}\]

   2. Taylor expanded around inf 10.6

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{re} + re\right)}\]
3. Recombined 8 regimes into one program.

4. Final simplification 19.7

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;re \leq -9.54588978322931 \cdot 10^{+243}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{re \cdot -2}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -1.348090976184754 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2 \cdot \left(im \cdot im\right)}}{\sqrt{re \cdot -2}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -7.505771444393745 \cdot 10^{-145}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \left|im\right|}{\sqrt{\sqrt{im \cdot im + re \cdot re} - re}}\\ \mathbf{elif}\;re \leq -2.361083726192336 \cdot 10^{-294}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im \cdot \frac{im}{im - re}\right)}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.503501099244196 \cdot 10^{-297}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{im \cdot -2}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 3.918472623130481 \cdot 10^{-292}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot im}\\ \mathbf{elif}\;re \leq 2.996337957612594 \cdot 10^{+104}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + \sqrt{im \cdot im + re \cdot re}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(re + re\right)}\\ \end{array}\]

Alternatives

Reproduce

herbie shell --seed 2021110 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, real part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< re 0.0) (* 0.5 (* (sqrt 2.0) (sqrt (/ (* im im) (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))))) (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))

  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (+ (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))