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Precision: binary64
\[im > 0\]
\[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]
↓
\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 5.800337674405054 \cdot 10^{-98}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 1.2460153525997797 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]
0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}
↓
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 5.800337674405054 \cdot 10^{-98}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}}\right)\\

\mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 1.2460153525997797 \cdot 10^{+77}:\\
\;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\

\end{array}
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))
↓
(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (<= (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.0)
   (* 0.5 (* (* (sqrt 0.5) (* im (sqrt 2.0))) (sqrt (/ 1.0 re))))
   (if (<=
        (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
        5.800337674405054e-98)
     (*
      0.5
      (*
       (sqrt (sqrt (* 2.0 (- (+ im (* 0.5 (* re (/ re im)))) re))))
       (sqrt (sqrt (* 2.0 (- (+ im (* 0.5 (* re (/ re im)))) re))))))
     (if (<=
          (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))
          1.2460153525997797e+77)
       (* (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re))) 0.5)
       (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- im re))))))))
double code(double re, double im) {
	return 0.5 * sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re));
}
↓
double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 0.0) {
		tmp = 0.5 * ((sqrt(0.5) * (im * sqrt(2.0))) * sqrt(1.0 / re));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 5.800337674405054e-98) {
		tmp = 0.5 * (sqrt(sqrt(2.0 * ((im + (0.5 * (re * (re / im)))) - re))) * sqrt(sqrt(2.0 * ((im + (0.5 * (re * (re / im)))) - re))));
	} else if (sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) <= 1.2460153525997797e+77) {
		tmp = sqrt(2.0 * (sqrt((re * re) + (im * im)) - re)) * 0.5;
	} else {
		tmp = 0.5 * sqrt(2.0 * (im - re));
	}
	return tmp;
}

Error

Bits error versus re

Bits error versus im

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Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Derivation

  1. Split input into 4 regimes

  2. if (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 0.0

    1. Initial program 57.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 0.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)}\]

    if 0.0 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 5.8003376744050537e-98

    1. Initial program 55.7

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 17.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)} - re\right)}\]

    3. Simplified17.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)} - re\right)}\]
    4. Using strategy rm

    5. Applied *-un-lft-identity_binary64_41917.7

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{\color{blue}{1 \cdot im}}\right) - re\right)}\]

    6. Applied times-frac_binary64_42518.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\frac{re}{1} \cdot \frac{re}{im}\right)}\right) - re\right)}\]

    7. Simplified18.5

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(\color{blue}{re} \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}\]
    8. Using strategy rm

    9. Applied add-sqr-sqrt_binary64_44118.8

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}}\right)}\]

    if 5.8003376744050537e-98 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re))) < 1.24601535259977968e77

    1. Initial program 1.5

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    if 1.24601535259977968e77 < (sqrt.f64 (*.f64 2 (-.f64 (sqrt.f64 (+.f64 (*.f64 re re) (*.f64 im im))) re)))

    1. Initial program 63.8

      \[0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)}\]

    2. Taylor expanded around 0 35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{{re}^{2}}{im} + im\right)} - re\right)}\]

    3. Simplified35.4

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(\color{blue}{\left(im + 0.5 \cdot \frac{re \cdot re}{im}\right)} - re\right)}\]

    4. Taylor expanded around inf 28.2

      \[\leadsto 0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\left(im - re\right)}}\]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification14.2

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 0:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(\sqrt{0.5} \cdot \left(im \cdot \sqrt{2}\right)\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{re}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 5.800337674405054 \cdot 10^{-98}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}} \cdot \sqrt{\sqrt{2 \cdot \left(\left(im + 0.5 \cdot \left(re \cdot \frac{re}{im}\right)\right) - re\right)}}\right)\\ \mathbf{elif}\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \leq 1.2460153525997797 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\sqrt{2 \cdot \left(\sqrt{re \cdot re + im \cdot im} - re\right)} \cdot 0.5\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \sqrt{2 \cdot \left(im - re\right)}\\ \end{array}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021097 
(FPCore (re im)
  :name "math.sqrt on complex, imaginary part, im greater than 0 branch"
  :precision binary64
  :pre (> im 0.0)
  (* 0.5 (sqrt (* 2.0 (- (sqrt (+ (* re re) (* im im))) re)))))