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Precision: binary64
\[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
↓
\[\frac{\frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\pi}}{\left(-1 + v \cdot v\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - {v}^{4} \cdot 9\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 3}\]
\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}
↓
\frac{\frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\pi}}{\left(-1 + v \cdot v\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - {v}^{4} \cdot 9\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 3}
(FPCore (v t)
 :precision binary64
 (/
  (- 1.0 (* 5.0 (* v v)))
  (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))
↓
(FPCore (v t)
 :precision binary64
 (*
  (/
   (/ (+ -1.0 (* (* v v) 5.0)) PI)
   (* (+ -1.0 (* v v)) (* t (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* (pow v 4.0) 9.0)))))))
  (sqrt (+ 1.0 (* (* v v) 3.0)))))
double code(double v, double t) {
	return (1.0 - (5.0 * (v * v))) / (((((double) M_PI) * t) * sqrt(2.0 * (1.0 - (3.0 * (v * v))))) * (1.0 - (v * v)));
}
↓
double code(double v, double t) {
	return (((-1.0 + ((v * v) * 5.0)) / ((double) M_PI)) / ((-1.0 + (v * v)) * (t * sqrt(2.0 * (1.0 - (pow(v, 4.0) * 9.0)))))) * sqrt(1.0 + ((v * v) * 3.0));
}

Error

Bits error versus v

Bits error versus t

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Derivation

  1. Initial program 0.4

    \[\frac{1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)}{\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]
  2. Using strategy rm

  3. Applied frac-2neg_binary64_17940.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\left(1 - 5 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{-\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}}\]

  4. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}}{-\left(\left(\pi \cdot t\right) \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(1 - v \cdot v\right)}\]

  5. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\color{blue}{\pi \cdot \left(\left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(-1 + v \cdot v\right)\right)}}\]
  6. Using strategy rm

  7. Applied *-un-lft-identity_binary64_17830.4

    \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot \left(-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5\right)}}{\pi \cdot \left(\left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(-1 + v \cdot v\right)\right)}\]

  8. Applied times-frac_binary64_17890.4

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right) \cdot \left(-1 + v \cdot v\right)}}\]

  9. Simplified0.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \color{blue}{\frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - 3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}\right)}}\]
  10. Using strategy rm

  11. Applied flip--_binary64_17580.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right)}\]

  12. Applied associate-*r/_binary64_17250.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{\color{blue}{\frac{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right)}\]

  13. Applied sqrt-div_binary64_18000.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \color{blue}{\frac{\sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}\right)}\]

  14. Applied associate-*r/_binary64_17250.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \color{blue}{\frac{t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\]

  15. Applied associate-*r/_binary64_17250.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\color{blue}{\frac{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right)}{\sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}}}\]

  16. Applied associate-/r/_binary64_17290.4

    \[\leadsto \frac{1}{\pi} \cdot \color{blue}{\left(\frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\right)}\]

  17. Applied associate-*r*_binary64_17230.4

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{\pi} \cdot \frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 \cdot 1 - \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right) \cdot \left(3 \cdot \left(v \cdot v\right)\right)\right)}\right)}\right) \cdot \sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}}\]

  18. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{\frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\pi}}{\left(v \cdot v + -1\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - {v}^{4} \cdot 9\right)}\right)}} \cdot \sqrt{1 + 3 \cdot \left(v \cdot v\right)}\]

  19. Final simplification0.3

    \[\leadsto \frac{\frac{-1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 5}{\pi}}{\left(-1 + v \cdot v\right) \cdot \left(t \cdot \sqrt{2 \cdot \left(1 - {v}^{4} \cdot 9\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 + \left(v \cdot v\right) \cdot 3}\]

Reproduce

herbie shell --seed 2021084 
(FPCore (v t)
  :name "Falkner and Boettcher, Equation (20:1,3)"
  :precision binary64
  (/ (- 1.0 (* 5.0 (* v v))) (* (* (* PI t) (sqrt (* 2.0 (- 1.0 (* 3.0 (* v v)))))) (- 1.0 (* v v)))))